เครื่องคิดเลขตัวคูณร่วมน้อย

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) เป็นตัวบ่งชี้ทางคณิตศาสตร์ที่นักเรียนจำเป็นต้องรู้เพื่อที่จะทำงานกับเศษส่วนได้อย่างมีประสิทธิภาพ การศึกษา NOC เป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรมัธยมศึกษา และแม้ว่าเนื้อหาจะมีความซับซ้อนอย่างเห็นได้ชัด แต่หัวข้อนี้จะไม่ก่อให้เกิดปัญหากับนักเรียนที่รู้จักสูตรคูณและรู้วิธีจัดการกับองศา

คำจำกัดความของ LCM

ก่อนที่จะเริ่มทำความคุ้นเคยกับ LCM จำเป็นต้องเข้าใจแนวคิดที่กว้างขึ้น - เรากำลังพูดถึงคำจำกัดความของคำว่า "ตัวคูณร่วม" และบทบาทของมันในการคำนวณเชิงปฏิบัติ

ตัวคูณร่วมของจำนวนหลายจำนวนคือจำนวนธรรมชาติที่สามารถหารด้วยจำนวนเหล่านี้แต่ละจำนวนโดยไม่มีเศษเหลือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวคูณร่วมของชุดจำนวนเต็มคือจำนวนเต็มใดๆ ที่หารด้วยตัวเลขแต่ละตัวในอนุกรมที่กำหนด

ในกรณีของเรา เราจะเน้นที่ผลคูณร่วมของจำนวนเต็ม ซึ่งไม่มีค่าใดเท่ากับศูนย์

สำหรับจำนวนของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งสัมพันธ์กับแนวคิดของ "ตัวคูณร่วม" นั้น อาจมีสอง สาม สี่หรือมากกว่านั้นในอนุกรม

ตัวคูณร่วมที่นิยมมากที่สุดคือตัวคูณร่วมน้อย - LCM คือค่าบวกของตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดของจำนวนทั้งหมดในอนุกรม

ตัวอย่าง NOC

จากคำจำกัดความของตัวคูณร่วมน้อยและสาระสำคัญทางคณิตศาสตร์ จะได้ว่าตัวเลขหลายตัวมี LCM เสมอ

รูปแบบที่สั้นที่สุดของตัวคูณร่วมน้อยคือ:

• a1, a2, ..., ak ของแบบฟอร์ม LCM (a1, a2, ..., ak)

นอกจากนี้ ในบางแหล่งคุณจะพบรูปแบบการเขียนต่อไปนี้:

• a1, a2, ..., ak ของแบบฟอร์ม [a1, a2, ..., ak]

เพื่อแสดงตัวอย่าง ลองใช้ LCM ของจำนวนเต็มสองตัว: 4 และ 5 นิพจน์ผลลัพธ์จะมีลักษณะดังนี้:

• LCM(4, 5) = 20.

หากเราใช้ LCM สำหรับตัวเลขสี่ตัวต่อไปนี้: 3, −9, 5, −15 เราจะได้สัญลักษณ์:

• LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

แม้แต่ตัวอย่างการเขียนที่ง่ายที่สุดก็แสดงให้เห็นว่าการหาตัวคูณร่วมน้อยสำหรับกลุ่มตัวเลขนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และกระบวนการค้นหาก็อาจค่อนข้างซับซ้อน มีอัลกอริทึมและเทคนิคพิเศษที่ใช้งานอยู่เมื่อคำนวณตัวคูณร่วมน้อย

LCM และ GCD เกี่ยวข้องกันอย่างไร

ค่าที่รู้จักกันในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเรียกว่าตัวหารร่วมน้อย (ต่อไปนี้เรียกว่า GCD) เชื่อมโยงกับ LCM ผ่านทฤษฎีบทต่อไปนี้: "ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน a และ b เท่ากับ ผลคูณของตัวเลข a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมาก (gcd) ของ a และ b"

คุณสามารถอธิบายทฤษฎีบทนี้ได้โดยใช้นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ดังนี้:

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)

เพื่อเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เรานำเสนองานวิจัยทางคณิตศาสตร์บางส่วน

สมมุติว่า m เป็นตัวคูณของ a และ b ดังนั้น m จึงหารด้วย a ลงตัว และตามนิยามของการหารลงตัว มีจำนวนเต็ม k จำนวนหนึ่ง ซึ่งเราสามารถเขียนความเท่ากันได้:

• m = a ⋅ k.

แต่เราก็รู้ว่า m หารด้วย b ลงตัว ดังนั้น a ⋅ k ก็หารด้วย b ลงตัวด้วย

เราจะใช้สัญลักษณ์ d เพื่อแสดงนิพจน์ GCD (a, b) เราจึงสามารถเขียนความเท่าเทียมกันโดยใช้นิพจน์:

• a = a1 ⋅ d,
• b = b1 ⋅ ง.

ที่นี่:

• a1 = a / d,
• b1 = b / d,

โดยที่ a1 และ b1 เป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างแน่นอน

เงื่อนไขที่ได้ข้างต้นว่า a ⋅ k หารด้วย b ลงตัว ทำให้เราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้ได้: a1 ⋅ d ⋅ k หารด้วย b1 ⋅ d ลงตัว และสิ่งนี้ตามคุณสมบัติของการหารจะเท่ากับ เงื่อนไขว่า a1 ⋅ k หารด้วย b1 ลงตัว

ดังนั้น ตามคุณสมบัติของเลขโคไพรม์ เนื่องจาก a1 ⋅ k หารด้วย b1 ลงตัว และ a1 หารด้วย b1 ไม่ลงตัว (a1 และ b1 เป็นจำนวนโคไพรม์) ดังนั้น k จะต้องหารด้วย b1 ลงตัว ในกรณีนี้ เราต้องมีจำนวนเต็ม t ซึ่งนิพจน์เป็นจริง:

• k = b1 ⋅ t,

และตั้งแต่

• b1 = b / d,

จากนั้น:

• k = b / d ⋅ t.

การแทนที่ในนิพจน์

• m = a ⋅ k

แทนที่จะเป็น k การแสดงออกของมันคือ b / d ⋅ t เรามาถึงความเท่าเทียมกันสุดท้าย:

• m = a ⋅ b / d ⋅ t.

เราจึงได้ความเท่าเทียมกันที่ระบุรูปแบบตัวคูณร่วมทั้งหมดของ a และ b เนื่องจาก a และ b เป็นจำนวนบวกตามเงื่อนไข ดังนั้นสำหรับ t = 1 เราจึงได้ตัวคูณร่วมที่เป็นบวกน้อยที่สุด ซึ่งเท่ากับ a ⋅ b / d

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)

การรู้ข้อกำหนดและกฎพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับ LCM ช่วยให้เข้าใจความสำคัญเชิงปฏิบัติในวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้น และยังช่วยให้คุณใช้เป็นหน่วยประยุกต์ในการคำนวณได้อย่างแข็งขัน ซึ่งความรู้เรื่องค่า LCM เป็นข้อกำหนดเบื้องต้น