Kalylator för minsta gemensamma multipel
Den minsta gemensamma multipeln (LCM) är en matematisk indikator som en elev behöver känna till för att kunna arbeta effektivt med bråk. NOC studeras som en del av gymnasieskolans läroplan, och trots materialets uppenbara komplexitet kommer detta ämne inte att orsaka problem för en elev som kan multiplikationstabellen och vet hur man arbetar med examina.
LCM-definition
Innan du börjar bekanta dig med LCM är det nödvändigt att förstå dess bredare koncept - vi talar om definitionen av termen "gemensam multipel" och dess roll i praktiska beräkningar.
En gemensam multipel av flera tal är ett naturligt tal som kan delas med vart och ett av dessa tal utan en rest. Med andra ord, en gemensam multipel av en serie heltal är vilket heltal som helst som är delbart med vart och ett av talen i den givna serien.
I vårt fall fokuserar vi på gemensamma multipler av heltal, varav inget är lika med noll.
När det gäller antalet naturliga tal, i förhållande till vilka vi kan tillämpa begreppet "gemensam multipel", så kan det finnas två, tre, fyra eller fler av dem i en serie.
Den mest populära av de gemensamma multipeln är den minsta gemensamma multipeln - LCM är det positiva värdet av den minsta gemensamma multipeln av alla tal i serien.
NOC-exempel
Av definitionen av den minsta gemensamma multipeln och dess matematiska väsen, följer att flera tal alltid har en LCM.
Den kortaste formen för den minsta gemensamma multipeln är:
- a1, a2, ..., ak av formen LCM (a1, a2, ..., ak).
Dessutom kan du i vissa källor hitta följande skrivsätt:
- a1, a2, ..., ak av formen [a1, a2, ..., ak].
För att visa ett exempel, låt oss ta LCM för två heltal: 4 och 5. Det resulterande uttrycket kommer att se ut så här:
- LCM(4, 5) = 20.
Om vi tar LCM för följande fyra siffror: 3, −9, 5, −15, får vi notationen:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Även de enklaste skrivexemplen visar att det är långt ifrån lätt att hitta den minsta gemensamma multipeln för en grupp av tal, och processen att hitta den kan vara ganska komplicerad. Det finns speciella algoritmer och tekniker som aktivt används vid beräkning av den minsta gemensamma multipeln.
Hur LCM och GCD är relaterade
Ett värde känt i matematiska beräkningar, kallat minsta gemensamma divisor (nedan kallad GCD), är associerat med LCM genom följande sats: "den minsta gemensamma multipeln (LCM) av två positiva heltal a och b är lika med produkten av talen a och b dividerat med den största gemensamma divisorn (gcd) av a och b".
Du kan beskriva denna sats med hjälp av ett matematiskt uttryck enligt följande:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Som bevis på detta teorem presenterar vi lite matematisk forskning.
Låt oss säga att m är en viss multipel av a och b. Följaktligen är m delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det något heltal k, med vilket vi kan skriva likheten:
- m = a ⋅ k.
Men vi vet också att m också är delbart med b, så a ⋅ k är också delbart med b.
Vi kommer att använda symbolen d för att beteckna uttrycket GCD (a, b). Så vi kan skriva likhet med uttryck:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Här:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
där a1 och b1 är relativt primtal.
Det villkor som erhållits ovan att a ⋅ k är delbart med b tillåter oss att skriva följande uttryck: a1 ⋅ d ⋅ k är delbart med b1 ⋅ d, och detta, i enlighet med delbarhetens egenskaper, är ekvivalent med förutsättning att a1 ⋅ k är delbart med b1 .
Därför, enligt egenskaperna hos samprimtal, eftersom a1 ⋅ k är delbart med b1 och a1 inte är delbart med b1 (a1 och b1 är samprimtal), så måste k vara delbart med b1. I det här fallet måste vi ha något heltal t för vilket uttrycket är sant:
- k = b1 ⋅ t,
och sedan
- b1 = b / d,
sedan:
- k = b / d ⋅ t.
Ersätter i uttrycket
- m = a ⋅ k
istället för k är dess uttryck b / d ⋅ t, kommer vi fram till den slutliga likheten:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Så vi fick en likhet som specificerar formen av alla gemensamma multipler av a och b. Eftersom a och b är positiva tal av villkoret, får vi för t = 1 deras minsta positiva gemensamma multipel, som är lika med a ⋅ b / d.
Därmed har vi bevisat det
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Att känna till de grundläggande bestämmelserna och reglerna förknippade med LCM hjälper till att bättre förstå dess praktiska betydelse i matematik, och låter dig också aktivt använda den som en tillämpad enhet i beräkningar där kunskap om LCM-värdet är en förutsättning.