Kalylator för minsta gemensamma multipel

Den minsta gemensamma multipeln (LCM) Àr en matematisk indikator som en elev behöver kÀnna till för att kunna arbeta effektivt med brÄk. NOC studeras som en del av gymnasieskolans lÀroplan, och trots materialets uppenbara komplexitet kommer detta Àmne inte att orsaka problem för en elev som kan multiplikationstabellen och vet hur man arbetar med examina.
LCM-definition
Innan du börjar bekanta dig med LCM Àr det nödvÀndigt att förstÄ dess bredare koncept - vi talar om definitionen av termen "gemensam multipel" och dess roll i praktiska berÀkningar.
En gemensam multipel av flera tal Àr ett naturligt tal som kan delas med vart och ett av dessa tal utan en rest. Med andra ord, en gemensam multipel av en serie heltal Àr vilket heltal som helst som Àr delbart med vart och ett av talen i den givna serien.
I vÄrt fall fokuserar vi pÄ gemensamma multipler av heltal, varav inget Àr lika med noll.
NÀr det gÀller antalet naturliga tal, i förhÄllande till vilka vi kan tillÀmpa begreppet "gemensam multipel", sÄ kan det finnas tvÄ, tre, fyra eller fler av dem i en serie.
Den mest populÀra av de gemensamma multipeln Àr den minsta gemensamma multipeln - LCM Àr det positiva vÀrdet av den minsta gemensamma multipeln av alla tal i serien.
NOC-exempel
Av definitionen av den minsta gemensamma multipeln och dess matematiska vÀsen, följer att flera tal alltid har en LCM.
Den kortaste formen för den minsta gemensamma multipeln Àr:
- a1, a2, ..., ak av formen LCM (a1, a2, ..., ak).
Dessutom kan du i vissa kÀllor hitta följande skrivsÀtt:
- a1, a2, ..., ak av formen [a1, a2, ..., ak].
För att visa ett exempel, lÄt oss ta LCM för tvÄ heltal: 4 och 5. Det resulterande uttrycket kommer att se ut sÄ hÀr:
- LCM(4, 5) = 20.
Om vi ââtar LCM för följande fyra siffror: 3, â9, 5, â15, fĂ„r vi notationen:
- LCM(3, â9, 5, â15) = 45.
Ăven de enklaste skrivexemplen visar att det Ă€r lĂ„ngt ifrĂ„n lĂ€tt att hitta den minsta gemensamma multipeln för en grupp av tal, och processen att hitta den kan vara ganska komplicerad. Det finns speciella algoritmer och tekniker som aktivt anvĂ€nds vid berĂ€kning av den minsta gemensamma multipeln.
Hur LCM och GCD Àr relaterade
Ett vÀrde kÀnt i matematiska berÀkningar, kallat minsta gemensamma divisor (nedan kallad GCD), Àr associerat med LCM genom följande sats: "den minsta gemensamma multipeln (LCM) av tvÄ positiva heltal a och b Àr lika med produkten av talen a och b dividerat med den största gemensamma divisorn (gcd) av a och b".
Du kan beskriva denna sats med hjÀlp av ett matematiskt uttryck enligt följande:
- LCD (a, b) = a â b / GCD (a, b).
Som bevis pÄ detta teorem presenterar vi lite matematisk forskning.
LÄt oss sÀga att m Àr en viss multipel av a och b. Följaktligen Àr m delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det nÄgot heltal k, med vilket vi kan skriva likheten:
- m = a â k.
Men vi vet ocksĂ„ att m ocksĂ„ Ă€r delbart med b, sĂ„ a â k Ă€r ocksĂ„ delbart med b.
Vi kommer att anvÀnda symbolen d för att beteckna uttrycket GCD (a, b). SÄ vi kan skriva likhet med uttryck:
- a = a1 â d,
- b = b1 â d.
HĂ€r:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
dÀr a1 och b1 Àr relativt primtal.
Det villkor som erhĂ„llits ovan att a â k Ă€r delbart med b tillĂ„ter oss att skriva följande uttryck: a1 â d â k Ă€r delbart med b1 â d, och detta, i enlighet med delbarhetens egenskaper, Ă€r ekvivalent med förutsĂ€ttning att a1 â k Ă€r delbart med b1 .
DĂ€rför, enligt egenskaperna hos samprimtal, eftersom a1 â k Ă€r delbart med b1 och a1 inte Ă€r delbart med b1 (a1 och b1 Ă€r samprimtal), sĂ„ mĂ„ste k vara delbart med b1. I det hĂ€r fallet mĂ„ste vi ha nĂ„got heltal t för vilket uttrycket Ă€r sant:
- k = b1 â t,
och sedan
- b1 = b / d,
sedan:
- k = b / d â t.
ErsÀtter i uttrycket
- m = a â k
istĂ€llet för k Ă€r dess uttryck b / d â t, kommer vi fram till den slutliga likheten:
- m = a â b / d â t.
SĂ„ vi fick en likhet som specificerar formen av alla gemensamma multipler av a och b. Eftersom a och b Ă€r positiva tal av villkoret, fĂ„r vi för t = 1 deras minsta positiva gemensamma multipel, som Ă€r lika med a â b / d.
DĂ€rmed har vi bevisat det
- LCD (a, b) = a â b / GCD (a, b).
Att kÀnna till de grundlÀggande bestÀmmelserna och reglerna förknippade med LCM hjÀlper till att bÀttre förstÄ dess praktiska betydelse i matematik, och lÄter dig ocksÄ aktivt anvÀnda den som en tillÀmpad enhet i berÀkningar dÀr kunskap om LCM-vÀrdet Àr en förutsÀttning.