LCM-kalkylator

Kalylator för minsta gemensamma multipel

Den minsta gemensamma multipeln (LCM) är en matematisk indikator som en elev behöver känna till för att kunna arbeta effektivt med bråk. NOC studeras som en del av gymnasieskolans läroplan, och trots materialets uppenbara komplexitet kommer detta ämne inte att orsaka problem för en elev som kan multiplikationstabellen och vet hur man arbetar med examina.

LCM-definition

Innan du börjar bekanta dig med LCM är det nödvändigt att förstå dess bredare koncept - vi talar om definitionen av termen "gemensam multipel" och dess roll i praktiska beräkningar.

En gemensam multipel av flera tal är ett naturligt tal som kan delas med vart och ett av dessa tal utan en rest. Med andra ord, en gemensam multipel av en serie heltal är vilket heltal som helst som är delbart med vart och ett av talen i den givna serien.

I vårt fall fokuserar vi på gemensamma multipler av heltal, varav inget är lika med noll.

När det gäller antalet naturliga tal, i förhållande till vilka vi kan tillämpa begreppet "gemensam multipel", så kan det finnas två, tre, fyra eller fler av dem i en serie.

Den mest populära av de gemensamma multipeln är den minsta gemensamma multipeln - LCM är det positiva värdet av den minsta gemensamma multipeln av alla tal i serien.

NOC-exempel

Av definitionen av den minsta gemensamma multipeln och dess matematiska väsen, följer att flera tal alltid har en LCM.

Den kortaste formen för den minsta gemensamma multipeln är:

a1, a2, ..., ak av formen LCM (a1, a2, ..., ak).

Dessutom kan du i vissa källor hitta följande skrivsätt:

a1, a2, ..., ak av formen [a1, a2, ..., ak].

För att visa ett exempel, låt oss ta LCM för två heltal: 4 och 5. Det resulterande uttrycket kommer att se ut så här:

LCM(4, 5) = 20.

Om vi tar LCM för följande fyra siffror: 3, −9, 5, −15, får vi notationen:

LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Även de enklaste skrivexemplen visar att det är långt ifrån lätt att hitta den minsta gemensamma multipeln för en grupp av tal, och processen att hitta den kan vara ganska komplicerad. Det finns speciella algoritmer och tekniker som aktivt används vid beräkning av den minsta gemensamma multipeln.

Hur LCM och GCD är relaterade

Ett värde känt i matematiska beräkningar, kallat minsta gemensamma divisor (nedan kallad GCD), är associerat med LCM genom följande sats: "den minsta gemensamma multipeln (LCM) av två positiva heltal a och b är lika med produkten av talen a och b dividerat med den största gemensamma divisorn (gcd) av a och b".

Du kan beskriva denna sats med hjälp av ett matematiskt uttryck enligt följande:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Som bevis på detta teorem presenterar vi lite matematisk forskning.

Låt oss säga att m är en viss multipel av a och b. Följaktligen är m delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det något heltal k, med vilket vi kan skriva likheten:

m = a ⋅ k.

Men vi vet också att m också är delbart med b, så a ⋅ k är också delbart med b.

Vi kommer att använda symbolen d för att beteckna uttrycket GCD (a, b). Så vi kan skriva likhet med uttryck:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Här:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

där a1 och b1 är relativt primtal.

Det villkor som erhållits ovan att a ⋅ k är delbart med b tillåter oss att skriva följande uttryck: a1 ⋅ d ⋅ k är delbart med b1 ⋅ d, och detta, i enlighet med delbarhetens egenskaper, är ekvivalent med förutsättning att a1 ⋅ k är delbart med b1 .

Därför, enligt egenskaperna hos samprimtal, eftersom a1 ⋅ k är delbart med b1 och a1 inte är delbart med b1 (a1 och b1 är samprimtal), så måste k vara delbart med b1. I det här fallet måste vi ha något heltal t för vilket uttrycket är sant:

k = b1 ⋅ t,

och sedan

b1 = b / d,

sedan:

k = b / d ⋅ t.

Ersätter i uttrycket

m = a ⋅ k

istället för k är dess uttryck b / d ⋅ t, kommer vi fram till den slutliga likheten:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Så vi fick en likhet som specificerar formen av alla gemensamma multipler av a och b. Eftersom a och b är positiva tal av villkoret, får vi för t = 1 deras minsta positiva gemensamma multipel, som är lika med a ⋅ b / d.

Därmed har vi bevisat det

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Att känna till de grundläggande bestämmelserna och reglerna förknippade med LCM hjälper till att bättre förstå dess praktiska betydelse i matematik, och låter dig också aktivt använda den som en tillämpad enhet i beräkningar där kunskap om LCM-värdet är en förutsättning.

En av de första frågorna som uppstår när man studerar den minsta gemensamma multipeln (LCM): vad är dess praktiska innebörd och hur kan den vara användbar i matematiska beräkningar?

Naturligtvis, i en vetenskap som matematik, finns det inga onödiga funktioner, var och en av dem är nödvändiga för att utföra specifika beräkningar. NOC är inget undantag.

Där LCM gäller

Oftast används LCM i beräkningar som kräver att bråk reduceras till en gemensam nämnare. Denna åtgärd finns i exempel och uppgifter i de flesta skolprogram. I regel är detta utbildningsmaterial inom gymnasieskolans ram.

Dessutom kan LCM fungera som en gemensam divisor för alla multiplar, om dessa villkor finns i det problem som tillhandahålls för lösning.

I praktiken finns det problem där det finns ett behov av att hitta en multipel inte bara av två tal, utan också av ett mycket större antal av dem - tre, fem ... Ju fler tal i initialen förhållanden, desto fler åtgärder måste vi utföra i processen att lösa problemet. Den goda nyheten är att lösningens komplexitet inte kommer att öka i det här fallet. Endast skalan av beräkningar kommer att ändras.

Metoder för att hitta LCM

Första vägen

Som ett exempel, låt oss beräkna den minsta gemensamma multipeln av talen 250, 600 och 1500.

Låt oss börja med att faktorisera siffrorna:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

I det här exemplet har vi faktoriserat utan reduktion.

Närnäst utför vi liknande åtgärder med resten av siffrorna:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

För att komponera ett uttryck är det nödvändigt att ange alla faktorer, i vårt fall är det 2, 3, 5 - för dessa siffror måste du bestämma den maximala graden.

LCM = 3000.

Det bör noteras att alla multiplikatorer måste föras till sin fulla förenkling. Om möjligt, bryt ner till nivån entydig.

Närnäst kontrollerar vi:

3000 / 250 = 12 är korrekt;
3000 / 600 = 5 är korrekt;
3000 / 1500 = 2 är korrekt.

Fördelen med denna metod för att beräkna LCM är dess enkelhet - en sådan beräkning kräver inga speciella färdigheter och höga kunskaper i matematik.

Andra vägen

Många matematiska beräkningar kan förenklas genom att dra fördel av möjligheten att utföra dem i flera steg. Detsamma gäller för att beräkna den minsta gemensamma multipeln.

Metoden vi ska titta på nedan fungerar för både ensiffriga och tvåsiffriga exempel.

För en enklare och mer visuell representation av processen måste vi skapa en tabell där följande värden kommer att anges:

till kolumner - multiplicand;
till linjer — multiplikator.

Cellerna i skärningspunkten kommer att innehålla värdena för produkterna från multiplikanten och multiplikatorn. För den som inte gillar att arbeta med tabeller finns det en enklare form av skrivning - på en rad där resultatet av vårt tal skrivs till heltal från ett till oändligt. I vissa fall räcker det med att skriva ner 3-5 poäng. De återstående siffrorna är föremål för en liknande beräkningsprocess. Denna åtgärd utförs tills en gemensam multipel hittas, den minsta för alla värden.

Hitta den gemensamma multipeln av talen 30, 35 och 42:

Hitta multiplar av 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Hitta multiplar av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Hitta multiplar av 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Vi har tre rader med tal som skiljer sig från varandra, men i varje rad finns det samma nummer - 210. Det är detta tal som är den minsta gemensamma multipeln för de givna talen.

Vi tittade på de enklaste sätten att beräkna den minsta gemensamma multipeln av en serie tal. Det finns andra speciella algoritmer, de kan ha vissa skillnader i beräkningsprocessen, medan resultatet av beräkningen blir detsamma. Dessutom kan du nu hitta ett stort antal onlineräknare på nätet som gör att du kan hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM) utan en krånglig självberäkning.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}