LCM-kalkylator

Kalylator för minsta gemensamma multipel

Kalylator för minsta gemensamma multipel

Den minsta gemensamma multipeln (LCM) Àr en matematisk indikator som en elev behöver kÀnna till för att kunna arbeta effektivt med brÄk. NOC studeras som en del av gymnasieskolans lÀroplan, och trots materialets uppenbara komplexitet kommer detta Àmne inte att orsaka problem för en elev som kan multiplikationstabellen och vet hur man arbetar med examina.

LCM-definition

Innan du börjar bekanta dig med LCM Àr det nödvÀndigt att förstÄ dess bredare koncept - vi talar om definitionen av termen "gemensam multipel" och dess roll i praktiska berÀkningar.

En gemensam multipel av flera tal Àr ett naturligt tal som kan delas med vart och ett av dessa tal utan en rest. Med andra ord, en gemensam multipel av en serie heltal Àr vilket heltal som helst som Àr delbart med vart och ett av talen i den givna serien.

I vÄrt fall fokuserar vi pÄ gemensamma multipler av heltal, varav inget Àr lika med noll.

NÀr det gÀller antalet naturliga tal, i förhÄllande till vilka vi kan tillÀmpa begreppet "gemensam multipel", sÄ kan det finnas tvÄ, tre, fyra eller fler av dem i en serie.

Den mest populÀra av de gemensamma multipeln Àr den minsta gemensamma multipeln - LCM Àr det positiva vÀrdet av den minsta gemensamma multipeln av alla tal i serien.

NOC-exempel

Av definitionen av den minsta gemensamma multipeln och dess matematiska vÀsen, följer att flera tal alltid har en LCM.

Den kortaste formen för den minsta gemensamma multipeln Àr:

  • a1, a2, ..., ak av formen LCM (a1, a2, ..., ak).

Dessutom kan du i vissa kÀllor hitta följande skrivsÀtt:

  • a1, a2, ..., ak av formen [a1, a2, ..., ak].

För att visa ett exempel, lÄt oss ta LCM för tvÄ heltal: 4 och 5. Det resulterande uttrycket kommer att se ut sÄ hÀr:

  • LCM(4, 5) = 20.

Om vi ​​tar LCM för följande fyra siffror: 3, −9, 5, −15, fĂ„r vi notationen:

  • LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Även de enklaste skrivexemplen visar att det Ă€r lĂ„ngt ifrĂ„n lĂ€tt att hitta den minsta gemensamma multipeln för en grupp av tal, och processen att hitta den kan vara ganska komplicerad. Det finns speciella algoritmer och tekniker som aktivt anvĂ€nds vid berĂ€kning av den minsta gemensamma multipeln.

Hur LCM och GCD Àr relaterade

Ett vÀrde kÀnt i matematiska berÀkningar, kallat minsta gemensamma divisor (nedan kallad GCD), Àr associerat med LCM genom följande sats: "den minsta gemensamma multipeln (LCM) av tvÄ positiva heltal a och b Àr lika med produkten av talen a och b dividerat med den största gemensamma divisorn (gcd) av a och b".

Du kan beskriva denna sats med hjÀlp av ett matematiskt uttryck enligt följande:

  • LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Som bevis pÄ detta teorem presenterar vi lite matematisk forskning.

LÄt oss sÀga att m Àr en viss multipel av a och b. Följaktligen Àr m delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det nÄgot heltal k, med vilket vi kan skriva likheten:

  • m = a ⋅ k.

Men vi vet ocksĂ„ att m ocksĂ„ Ă€r delbart med b, sĂ„ a ⋅ k Ă€r ocksĂ„ delbart med b.

Vi kommer att anvÀnda symbolen d för att beteckna uttrycket GCD (a, b). SÄ vi kan skriva likhet med uttryck:

  • a = a1 ⋅ d,
  • b = b1 ⋅ d.

HĂ€r:

  • a1 = a / d,
  • b1 = b / d,

dÀr a1 och b1 Àr relativt primtal.

Det villkor som erhĂ„llits ovan att a ⋅ k Ă€r delbart med b tillĂ„ter oss att skriva följande uttryck: a1 ⋅ d ⋅ k Ă€r delbart med b1 ⋅ d, och detta, i enlighet med delbarhetens egenskaper, Ă€r ekvivalent med förutsĂ€ttning att a1 ⋅ k Ă€r delbart med b1 .

DĂ€rför, enligt egenskaperna hos samprimtal, eftersom a1 ⋅ k Ă€r delbart med b1 och a1 inte Ă€r delbart med b1 (a1 och b1 Ă€r samprimtal), sĂ„ mĂ„ste k vara delbart med b1. I det hĂ€r fallet mĂ„ste vi ha nĂ„got heltal t för vilket uttrycket Ă€r sant:

  • k = b1 ⋅ t,

och sedan

  • b1 = b / d,

sedan:

  • k = b / d ⋅ t.

ErsÀtter i uttrycket

  • m = a ⋅ k

istĂ€llet för k Ă€r dess uttryck b / d ⋅ t, kommer vi fram till den slutliga likheten:

  • m = a ⋅ b / d ⋅ t.

SĂ„ vi fick en likhet som specificerar formen av alla gemensamma multipler av a och b. Eftersom a och b Ă€r positiva tal av villkoret, fĂ„r vi för t = 1 deras minsta positiva gemensamma multipel, som Ă€r lika med a ⋅ b / d.

DĂ€rmed har vi bevisat det

  • LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Att kÀnna till de grundlÀggande bestÀmmelserna och reglerna förknippade med LCM hjÀlper till att bÀttre förstÄ dess praktiska betydelse i matematik, och lÄter dig ocksÄ aktivt anvÀnda den som en tillÀmpad enhet i berÀkningar dÀr kunskap om LCM-vÀrdet Àr en förutsÀttning.

SĂ„ hittar du minsta gemensamma multipel

SĂ„ hittar du minsta gemensamma multipel

En av de första frÄgorna som uppstÄr nÀr man studerar den minsta gemensamma multipeln (LCM): vad Àr dess praktiska innebörd och hur kan den vara anvÀndbar i matematiska berÀkningar?

Naturligtvis, i en vetenskap som matematik, finns det inga onödiga funktioner, var och en av dem Àr nödvÀndiga för att utföra specifika berÀkningar. NOC Àr inget undantag.

DÀr LCM gÀller

Oftast anvÀnds LCM i berÀkningar som krÀver att brÄk reduceras till en gemensam nÀmnare. Denna ÄtgÀrd finns i exempel och uppgifter i de flesta skolprogram. I regel Àr detta utbildningsmaterial inom gymnasieskolans ram.

Dessutom kan LCM fungera som en gemensam divisor för alla multiplar, om dessa villkor finns i det problem som tillhandahÄlls för lösning.

I praktiken finns det problem dÀr det finns ett behov av att hitta en multipel inte bara av tvÄ tal, utan ocksÄ av ett mycket större antal av dem - tre, fem ... Ju fler tal i initialen förhÄllanden, desto fler ÄtgÀrder mÄste vi utföra i processen att lösa problemet. Den goda nyheten Àr att lösningens komplexitet inte kommer att öka i det hÀr fallet. Endast skalan av berÀkningar kommer att Àndras.

Metoder för att hitta LCM

Första vÀgen

Som ett exempel, lÄt oss berÀkna den minsta gemensamma multipeln av talen 250, 600 och 1500.

LÄt oss börja med att faktorisera siffrorna:

  • 250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2Âč ⋅ 5Âł.

I det hÀr exemplet har vi faktoriserat utan reduktion.

NÀrnÀst utför vi liknande ÄtgÀrder med resten av siffrorna:

  • 600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2Âł ⋅ 3Âč ⋅ 5ÂČ.
  • 1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2ÂČ â‹… 3Âč ⋅ 5Âł.

För att komponera ett uttryck Àr det nödvÀndigt att ange alla faktorer, i vÄrt fall Àr det 2, 3, 5 - för dessa siffror mÄste du bestÀmma den maximala graden.

LCM = 3000.

Det bör noteras att alla multiplikatorer mÄste föras till sin fulla förenkling. Om möjligt, bryt ner till nivÄn entydig.

NÀrnÀst kontrollerar vi:

  • 3000 / 250 = 12 Ă€r korrekt;
  • 3000 / 600 = 5 Ă€r korrekt;
  • 3000 / 1500 = 2 Ă€r korrekt.

Fördelen med denna metod för att berÀkna LCM Àr dess enkelhet - en sÄdan berÀkning krÀver inga speciella fÀrdigheter och höga kunskaper i matematik.

Andra vÀgen

MÄnga matematiska berÀkningar kan förenklas genom att dra fördel av möjligheten att utföra dem i flera steg. Detsamma gÀller för att berÀkna den minsta gemensamma multipeln.

Metoden vi ska titta pÄ nedan fungerar för bÄde ensiffriga och tvÄsiffriga exempel.

För en enklare och mer visuell representation av processen mÄste vi skapa en tabell dÀr följande vÀrden kommer att anges:

  • till kolumner - multiplicand;
  • till linjer — multiplikator.

Cellerna i skÀrningspunkten kommer att innehÄlla vÀrdena för produkterna frÄn multiplikanten och multiplikatorn. För den som inte gillar att arbeta med tabeller finns det en enklare form av skrivning - pÄ en rad dÀr resultatet av vÄrt tal skrivs till heltal frÄn ett till oÀndligt. I vissa fall rÀcker det med att skriva ner 3-5 poÀng. De ÄterstÄende siffrorna Àr föremÄl för en liknande berÀkningsprocess. Denna ÄtgÀrd utförs tills en gemensam multipel hittas, den minsta för alla vÀrden.

Hitta den gemensamma multipeln av talen 30, 35 och 42:

  • Hitta multiplar av 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
  • Hitta multiplar av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
  • Hitta multiplar av 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Vi har tre rader med tal som skiljer sig frÄn varandra, men i varje rad finns det samma nummer - 210. Det Àr detta tal som Àr den minsta gemensamma multipeln för de givna talen.

Vi tittade pÄ de enklaste sÀtten att berÀkna den minsta gemensamma multipeln av en serie tal. Det finns andra speciella algoritmer, de kan ha vissa skillnader i berÀkningsprocessen, medan resultatet av berÀkningen blir detsamma. Dessutom kan du nu hitta ett stort antal onlinerÀknare pÄ nÀtet som gör att du kan hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM) utan en krÄnglig sjÀlvberÀkning.