מחשבון כפולה משותפת מינימלית

הכפול הפחות משותף (LCM) הוא אינדיקטור מתמטי שתלמיד צריך לדעת כדי לעבוד ביעילות עם שברים. NOC נלמד כחלק מתכנית הלימודים בבית הספר העל יסודי, ולמרות המורכבות הנראית לעין של החומר, נושא זה לא יגרום לבעיות לתלמיד שיודע את לוח הכפל ויודע לעבוד עם תארים.

הגדרת LCM

לפני שמתחילים להכיר את ה-LCM, יש צורך להבין את המושג הרחב שלו - אנו מדברים על הגדרת המונח "כפול משותף" ותפקידו בחישובים מעשיים.

כפולה משותפת של מספר מספרים היא מספר טבעי שניתן לחלק בכל אחד מהמספרים הללו ללא שארית. במילים אחרות, כפולה משותפת של סדרה של מספרים שלמים היא כל מספר שלם שמתחלק בכל אחד מהמספרים בסדרה הנתונה.

במקרה שלנו, נתמקד בכפולות משותפות של מספרים שלמים, שאף אחד מהם אינו שווה לאפס.

באשר למספר המספרים הטבעיים, שביחס אליהם נוכל ליישם את המושג "כפולה משותפת", אז יכולים להיות שניים, שלושה, ארבעה או יותר מהם בסדרה.

הפופולרי ביותר מבין הכפולות המשותפת היא הכפולה הפחות משותפת - ה-LCM הוא הערך החיובי של הכפולה המשותפת הקטנה ביותר מכל המספרים בסדרה.

דוגמאות NOC

מההגדרה של הכפולה הפחות משותפת ומהמהות המתמטית שלה, נובע שלמספר מספרים יש תמיד LCM.

הצורה הקצרה ביותר עבור הכפולה הנמוכה ביותר היא:

• a1, a2, ..., ak של הצורה LCM (a1, a2, ..., ak).

בנוסף, במקורות מסוימים תוכל למצוא את צורת הכתיבה הבאה:

• a1, a2, ..., ak של הצורה [a1, a2, ..., ak].

כדי להדגים דוגמה, ניקח את ה-LCM של שני מספרים שלמים: 4 ו-5. הביטוי שיתקבל ייראה כך:

• LCM(4, 5) = 20.

אם ניקח את ה-LCM עבור ארבעת המספרים הבאים: 3, −9, 5, −15, נקבל את הסימון:

• LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

אפילו דוגמאות הכתיבה הפשוטות ביותר מראות שמציאת הכפולה הפחות משותפת עבור קבוצת מספרים היא רחוקה מלהיות קלה, ותהליך מציאתה יכול להיות די מסובך. ישנם אלגוריתמים וטכניקות מיוחדות המשמשות באופן פעיל בעת חישוב הכפולה הפחות משותפת.

כיצד LCM ו-GCD קשורים

ערך הידוע בחישובים מתמטיים, הנקרא המחלק הפחות משותף (להלן GCD), משויך ל-LCM באמצעות המשפט הבא: "הכפולה הפחות משותפת (LCM) של שני מספרים שלמים חיוביים a ו-b שווה למכפלת המספרים a ו-b חלקי למחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) של a ו-b".

תוכל לתאר את המשפט הזה באמצעות ביטוי מתמטי באופן הבא:

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

כהוכחה למשפט זה, אנו מציגים מחקר מתמטי.

נניח ש-m היא כפולה מסוימת של a ו-b. בהתאם, m מתחלק ב-a, ולפי הגדרת ההתחלקות, יש איזה מספר k שלם, שבאמצעותו נוכל לכתוב את השוויון:

• m = a ⋅ k.

אבל אנחנו גם יודעים ש-m מתחלק גם ב-b, אז a ⋅ k מתחלק גם ב-b.

נשתמש בסמל d כדי לציין את הביטוי GCD (a, b). אז נוכל לכתוב שוויון באמצעות ביטויים:

• a = a1 ⋅ d,
• b = b1 ⋅ d.

כאן:

• a1 = a / d,
• b1 = b / d,

כאשר a1 ו-b1 הם מספרים ראשוניים יחסית.

התנאי שהתקבל לעיל לפיו a ⋅ k מתחלק ב-b מאפשר לנו לכתוב את הביטוי הבא: a1 ⋅ d ⋅ k מתחלק ב-b1 ⋅ d, וזה, בהתאם לתכונות ההתחלקות, שווה ערך ל- תנאי ש-a1 ⋅ k מתחלק ב-b1 .

לכן, לפי המאפיינים של מספרים ראשוניים, מכיוון ש-a1 ⋅ k מתחלק ב-b1, ו-a1 אינו מתחלק ב-b1 (a1 ו-b1 הם מספרים ראשוניים), אזי k חייב להיות מתחלק ב-b1. במקרה זה, חייב להיות לנו מספר t כלשהו שעבורו הביטוי נכון:

• k = b1 ⋅ t,

ומאז

• b1 = b / d,

ואז:

• k = b / d ⋅ t.

החלפה בביטוי

• m = a ⋅ k

במקום k הביטוי שלו הוא b / d ⋅ t, אנו מגיעים לשוויון הסופי:

• m = a ⋅ b / d ⋅ t.

אז קיבלנו שוויון שמציין את הצורה של כל הכפולות המשותפת של a ו-b. מכיוון ש-a ו-b הם מספרים חיוביים לפי התנאי, אז עבור t = 1 נקבל את הכפולה המשותפת הפחות חיובית שלהם, ששווה ל-a ⋅ b / d.

לכן, הוכחנו זאת

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

הכרת ההוראות והכללים הבסיסיים הקשורים ל-LCM עוזרת להבין טוב יותר את המשמעות המעשית שלו במתמטיקה, וגם מאפשרת לך להשתמש בו באופן פעיל כיחידה יישומית בחישובים שבהם ידע על ערך LCM הוא תנאי מוקדם.