Vähima ühiskordse

Lisa veebisaidile Metaandmed

Teised tööriistad

Vähima ühiskordse kalkulaator

Vähima ühiskordse kalkulaator

Vähim ühiskordne (LCM) on matemaatiline näitaja, mida õpilane peab teadma, et murdudega tõhusalt töötada. NOC õpitakse keskkooli õppekava raames ning vaatamata materjali näilisele keerukusele ei valmista see teema korrutustabelit tundvale ja kraadidega tööd oskavale õpilasele probleeme.

LCM-i definitsioon

Enne LCM-iga tutvuma asumist on vaja mõista selle laiemat kontseptsiooni - räägime mõiste "ühiskordne" definitsioonist ja selle rollist praktilistes arvutustes.

Mitme arvu ühiskordne on naturaalarv, mille saab jagada kõigi nende arvudega ilma jäägita. Teisisõnu, täisarvude jada ühiskordne on iga täisarv, mis jagub antud jada kõigi arvudega.

Meie puhul keskendume täisarvude ühiskordadele, millest ükski ei võrdu nulliga.

Mis puudutab naturaalarvude arvu, mille suhtes saame rakendada mõistet "ühiskordne", siis neid võib reas olla kaks, kolm, neli või rohkem.

Kõige populaarsem ühiskordadest on vähim ühiskordne – LCM on seeria kõigi arvude väikseima ühiskordse positiivne väärtus.

NOC-näited

Vähima ühiskordse definitsioonist ja selle matemaatilisest olemusest järeldub, et mitmel arvul on alati LCM.

Vähima tavalise kordse lühim vorm on:

  • a1, a2, ..., ak kujul LCM (a1, a2, ..., ak).

Lisaks leiate mõnest allikast järgmise kirjaviisi:

  • a1, a2, ..., ak kujul [a1, a2, ..., ak].

Näite demonstreerimiseks võtame kahe täisarvu 4 ja 5 LCM-i. Saadud avaldis näeb välja järgmine:

  • LCM(4, 5) = 20.

Kui võtame järgmise nelja numbri LCM-i: 3, −9, 5, −15, saame järgmise tähise:

  • LCM(3, -9, 5, -15) = 45.

Isegi kõige lihtsamad kirjutamisnäited näitavad, et arvurühma vähima ühiskordse leidmine pole kaugeltki lihtne ja selle leidmine võib olla üsna keeruline. Vähima ühiskordaja arvutamisel kasutatakse aktiivselt spetsiaalseid algoritme ja tehnikaid.

Kuidas LCM ja GCD on seotud

Matemaatilistel arvutustel tuntud väärtus, mida nimetatakse vähima ühiseks jagajaks (edaspidi GCD), seostatakse LCM-iga järgmise teoreemi kaudu: „kahe positiivse täisarvu a ja b vähim ühiskordaja (LCM) on võrdne arvude a ja b korrutis jagatud a ja b suurima ühisjagajaga (gcd).

Seda teoreemi saate kirjeldada matemaatilise avaldise abil järgmiselt:

  • LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Selle teoreemi tõestuseks esitame mõned matemaatilised uuringud.

Oletame, et m on a ja b teatud kordne. Sellest lähtuvalt on m jagub a-ga ja jaguvuse definitsiooni järgi on mingi täisarv k, millega saame kirjutada võrdsuse:

  • m = a ⋅ k.

Kuid teame ka seda, et m jagub ka b-ga, seega a ⋅ k jagub ka b-ga.

Kasutame avaldise GCD (a, b) tähistamiseks sümbolit d. Seega saame kirjutada võrdsuse avaldiste abil:

  • a = a1 ⋅ d,
  • b = b1 ⋅ d.

Siin:

  • a1 = a / d,
  • b1 = b / d,

kus a1 ja b1 on suhteliselt algarvud.

Eespool saadud tingimus, et a ⋅ k jagub b-ga, võimaldab kirjutada järgmise avaldise: a1 ⋅ d ⋅ k jagub b1 ⋅ d-ga ja see on vastavalt jaguvuse omadustele samaväärne tingimus, et a1 ⋅ k jagub b1-ga.

Seetõttu, kuna a1 ⋅ k jagub b1-ga ja a1 ei jagu b1-ga (a1 ja b1 on kaasalgarvud), peab k jaguma kaalgarvude omaduste järgi b1-ga. Sel juhul peab meil olema mõni täisarv t, mille puhul avaldis on tõene:

  • k = b1 ⋅ t,

ja alates

  • b1 = b / d,

siis:

  • k = b / d ⋅ t.

Avaldise asendamine

  • m = a ⋅ k

K asemel on selle avaldis b / d ⋅ t, jõuame lõppvõrdsuseni:

  • m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Nii saime võrdsuse, mis määrab a ja b kõigi ühiskordajate kuju. Kuna a ja b on tingimuse järgi positiivsed arvud, siis t = 1 korral saame nende vähima positiivse ühiskordse, mis on võrdne a ⋅ b / d.

Seega oleme seda tõestanud

  • LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

LCM-iga seotud põhisätete ja -reeglite tundmine aitab paremini mõista selle praktilist tähtsust matemaatikas ning võimaldab teil seda aktiivselt kasutada rakendusühikuna arvutustes, mille eelduseks on LCM-i väärtuse tundmine.

Kuidas leida vähim ühiskordne

Kuidas leida vähim ühiskordne

Üks esimesi küsimusi, mis vähima ühiskordse (LCM) uurimisel kerkib: mis on selle praktiline tähendus ja kuidas see matemaatilistes arvutustes kasulik olla saab?

Loomulikult pole sellises teaduses nagu matemaatika kasutuid funktsioone, igaüks neist on vajalik konkreetsete arvutuste tegemiseks. NOC pole erand.

Kus LCM kehtib

Enamasti kasutatakse LCM-i arvutustes, mis nõuavad murdude taandamist ühise nimetajani. Seda toimingut leidub enamiku kooliprogrammide näidetes ja ülesannetes. Üldjuhul on tegemist gümnaasiumi raames toimuva õppematerjaliga.

Lisaks võib LCM toimida kõigi kordiste ühise jagajana, kui need tingimused on lahendatavas probleemis olemas.

Praktikas esineb probleeme, mille puhul on vaja leida kordne mitte ainult kahele arvule, vaid ka palju suuremale arvule neist - kolm, viis ... Mida suurem on arvude arv alguses. seda rohkem toiminguid peame probleemi lahendamise protsessis tegema. Hea uudis on see, et lahenduse keerukus sel juhul ei suurene. Muutub ainult arvutuste skaala.

LCM-i leidmise meetodid

Esimene viis

Näiteks arvutame arvude 250, 600 ja 1500 vähima ühiskordse.

Alustuseks arvestame arvud:

  • 250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

Selles näites oleme faktoriseerinud ilma vähendamiseta.

Järgmisena teostame sarnaseid toiminguid ülejäänud numbritega:

  • 600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
  • 1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

Avaldise koostamiseks on vaja määrata kõik tegurid, meie puhul on see 2, 3, 5 – nende arvude jaoks peate määrama maksimaalse astme.

LCM = 3000.

Tuleb märkida, et kõik kordajad tuleb täielikult lihtsustada. Võimaluse korral lagundage ühemõttelisuse tasemele.

Järgmisena kontrollime:

  • 3000 / 250 = 12 on õige;
  • 3000 / 600 = 5 on õige;
  • 3000 / 1500 = 2 on õige.

Selle LCM-i arvutamise meetodi eeliseks on selle lihtsus – selline arvutamine ei nõua erilisi oskusi ja kõrgeid matemaatikateadmisi.

Teine meetod

Paljusid matemaatilisi arvutusi saab lihtsustada, kasutades ära võimalust teha neid mitmes etapis. Sama kehtib ka vähima ühiskordaja arvutamise kohta.

Meetod, mida me allpool vaatleme, töötab nii ühe- kui ka kahekohaliste näidete puhul.

Protsessi lihtsamaks ja visuaalsemaks esituseks peame looma tabeli, kuhu sisestatakse järgmised väärtused:

  • veergudesse – korrutis;
  • ridadele – kordaja.

Ristepunkti lahtrid sisaldavad korrutise ja kordaja korrutiste väärtusi. Neile, kellele tabelitega töötada ei meeldi, on lihtsam kirjutamisvorm – reale, kus meie arvu tulemused kirjutatakse täisarvudeni ühest lõpmatuseni. Mõnel juhul piisab 3-5 punkti kirja panemisest. Ülejäänud arvud arvutatakse sarnaselt. Seda toimingut tehakse seni, kuni leitakse ühiskordne, kõigi väärtuste väikseim.

Leidke arvude 30, 35 ja 42 ühiskordne:

  • Leia 30 kordsed: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
  • Leia 35 kordsed: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
  • Leia 42 kordsed: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Saime kolm rida numbreid, mis erinevad üksteisest, kuid igal real on sama arv – 210. Just see arv on antud arvude väikseim ühiskordne.

Vaatasime lihtsamaid viise arvude seeria vähima ühiskordse arvutamiseks. On ka teisi spetsiaalseid algoritme, neil võib arvutusprotsessis olla mõningaid erinevusi, samas kui arvutuse tulemus on sama. Lisaks leiate nüüd võrgust suure hulga veebikalkulaatoreid, mis võimaldavad teil leida vähima ühiskordse (LCM) ilma tülika isearvutuseta.