Vähim ühiskordne (LCM) on matemaatiline näitaja, mida õpilane peab teadma, et murdudega tõhusalt töötada. NOC õpitakse keskkooli õppekava raames ning vaatamata materjali näilisele keerukusele ei valmista see teema korrutustabelit tundvale ja kraadidega tööd oskavale õpilasele probleeme.
LCM-i definitsioon
Enne LCM-iga tutvuma asumist on vaja mõista selle laiemat kontseptsiooni - räägime mõiste "ühiskordne" definitsioonist ja selle rollist praktilistes arvutustes.
Mitme arvu ühiskordne on naturaalarv, mille saab jagada kõigi nende arvudega ilma jäägita. Teisisõnu, täisarvude jada ühiskordne on iga täisarv, mis jagub antud jada kõigi arvudega.
Meie puhul keskendume täisarvude ühiskordadele, millest ükski ei võrdu nulliga.
Mis puudutab naturaalarvude arvu, mille suhtes saame rakendada mõistet "ühiskordne", siis neid võib reas olla kaks, kolm, neli või rohkem.
Kõige populaarsem ühiskordadest on vähim ühiskordne – LCM on seeria kõigi arvude väikseima ühiskordse positiivne väärtus.
NOC-näited
Vähima ühiskordse definitsioonist ja selle matemaatilisest olemusest järeldub, et mitmel arvul on alati LCM.
Vähima tavalise kordse lühim vorm on:
- a1, a2, ..., ak kujul LCM (a1, a2, ..., ak).
Lisaks leiate mõnest allikast järgmise kirjaviisi:
- a1, a2, ..., ak kujul [a1, a2, ..., ak].
Näite demonstreerimiseks võtame kahe täisarvu 4 ja 5 LCM-i. Saadud avaldis näeb välja järgmine:
- LCM(4, 5) = 20.
Kui võtame järgmise nelja numbri LCM-i: 3, −9, 5, −15, saame järgmise tähise:
- LCM(3, -9, 5, -15) = 45.
Isegi kõige lihtsamad kirjutamisnäited näitavad, et arvurühma vähima ühiskordse leidmine pole kaugeltki lihtne ja selle leidmine võib olla üsna keeruline. Vähima ühiskordaja arvutamisel kasutatakse aktiivselt spetsiaalseid algoritme ja tehnikaid.
Kuidas LCM ja GCD on seotud
Matemaatilistel arvutustel tuntud väärtus, mida nimetatakse vähima ühiseks jagajaks (edaspidi GCD), seostatakse LCM-iga järgmise teoreemi kaudu: „kahe positiivse täisarvu a ja b vähim ühiskordaja (LCM) on võrdne arvude a ja b korrutis jagatud a ja b suurima ühisjagajaga (gcd).
Seda teoreemi saate kirjeldada matemaatilise avaldise abil järgmiselt:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Selle teoreemi tõestuseks esitame mõned matemaatilised uuringud.
Oletame, et m on a ja b teatud kordne. Sellest lähtuvalt on m jagub a-ga ja jaguvuse definitsiooni järgi on mingi täisarv k, millega saame kirjutada võrdsuse:
- m = a ⋅ k.
Kuid teame ka seda, et m jagub ka b-ga, seega a ⋅ k jagub ka b-ga.
Kasutame avaldise GCD (a, b) tähistamiseks sümbolit d. Seega saame kirjutada võrdsuse avaldiste abil:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Siin:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
kus a1 ja b1 on suhteliselt algarvud.
Eespool saadud tingimus, et a ⋅ k jagub b-ga, võimaldab kirjutada järgmise avaldise: a1 ⋅ d ⋅ k jagub b1 ⋅ d-ga ja see on vastavalt jaguvuse omadustele samaväärne tingimus, et a1 ⋅ k jagub b1-ga.
Seetõttu, kuna a1 ⋅ k jagub b1-ga ja a1 ei jagu b1-ga (a1 ja b1 on kaasalgarvud), peab k jaguma kaalgarvude omaduste järgi b1-ga. Sel juhul peab meil olema mõni täisarv t, mille puhul avaldis on tõene:
- k = b1 ⋅ t,
ja alates
- b1 = b / d,
siis:
- k = b / d ⋅ t.
Avaldise asendamine
- m = a ⋅ k
K asemel on selle avaldis b / d ⋅ t, jõuame lõppvõrdsuseni:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Nii saime võrdsuse, mis määrab a ja b kõigi ühiskordajate kuju. Kuna a ja b on tingimuse järgi positiivsed arvud, siis t = 1 korral saame nende vähima positiivse ühiskordse, mis on võrdne a ⋅ b / d.
Seega oleme seda tõestanud
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
LCM-iga seotud põhisätete ja -reeglite tundmine aitab paremini mõista selle praktilist tähtsust matemaatikas ning võimaldab teil seda aktiivselt kasutada rakendusühikuna arvutustes, mille eelduseks on LCM-i väärtuse tundmine.
