Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache
Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) ist ein mathematischer Indikator, den ein Schüler kennen muss, um effektiv mit Brüchen arbeiten zu können. NOC wird als Teil des Lehrplans der Sekundarstufe studiert, und trotz der scheinbaren Komplexität des Stoffes wird dieses Thema für einen Schüler, der das Einmaleins kennt und weiß, wie man mit Abschlüssen arbeitet, keine Probleme bereiten.
LCM-Definition
Bevor man sich mit dem LCM vertraut macht, ist es notwendig, sein umfassenderes Konzept zu verstehen – wir sprechen über die Definition des Begriffs „gemeinsames Vielfaches“ und seine Rolle in praktischen Berechnungen.
Ein gemeinsames Vielfaches mehrerer Zahlen ist eine natürliche Zahl, die durch jede dieser Zahlen ohne Rest geteilt werden kann. Mit anderen Worten, ein gemeinsames Vielfaches einer Reihe von ganzen Zahlen ist jede ganze Zahl, die durch jede der Zahlen in der gegebenen Reihe teilbar ist.
In unserem Fall konzentrieren wir uns auf gemeinsame Vielfache ganzer Zahlen, von denen keines gleich Null ist.
Was die Anzahl der natürlichen Zahlen betrifft, auf die wir das Konzept des „gemeinsamen Vielfachen“ anwenden können, dann kann es zwei, drei, vier oder mehr davon in einer Reihe geben.
Das beliebteste der gemeinsamen Vielfachen ist das kleinste gemeinsame Vielfache – das LCM ist der positive Wert des kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Zahlen in der Reihe.
NOC-Beispiele
Aus der Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und seinem mathematischen Wesen folgt, dass mehrere Zahlen immer ein KGV haben.
Die kürzeste Form für das kleinste gemeinsame Vielfache ist:
- a1, a2, ..., ak der Form LCM (a1, a2, ..., ak).
Darüber hinaus findet man in einigen Quellen die folgende Schreibweise:
- a1, a2, ..., ak der Form [a1, a2, ..., ak].
Um ein Beispiel zu veranschaulichen, nehmen wir das LCM von zwei ganzen Zahlen: 4 und 5. Der resultierende Ausdruck sieht folgendermaßen aus:
- LCM(4, 5) = 20.
Wenn wir das LCM für die folgenden vier Zahlen nehmen: 3, −9, 5, −15, erhalten wir die Notation:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Selbst die einfachsten Schreibbeispiele zeigen, dass es alles andere als einfach ist, das kleinste gemeinsame Vielfache für eine Gruppe von Zahlen zu finden, und dass der Prozess, es zu finden, ziemlich kompliziert sein kann. Es gibt spezielle Algorithmen und Techniken, die bei der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen aktiv eingesetzt werden.
Wie LCM und GCD zusammenhängen
Ein in mathematischen Berechnungen bekannter Wert, der als kleinster gemeinsamer Teiler (im Folgenden als GCD bezeichnet) bezeichnet wird, wird durch den folgenden Satz mit LCM in Verbindung gebracht: „Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zweier positiver Ganzzahlen a und b ist gleich.“ das Produkt der Zahlen a und b dividiert durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von a und b".
Sie können diesen Satz mit einem mathematischen Ausdruck wie folgt beschreiben:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Als Beweis dieses Theorems präsentieren wir einige mathematische Untersuchungen.
Sagen wir, m ist ein bestimmtes Vielfaches von a und b. Dementsprechend ist m durch a teilbar, und nach der Definition der Teilbarkeit gibt es eine ganze Zahl k, mit der wir die Gleichheit schreiben können:
- m = a ⋅ k.
Aber wir wissen auch, dass m auch durch b teilbar ist, also ist a ⋅ k auch durch b teilbar.
Wir werden das Symbol d verwenden, um den Ausdruck GCD (a, b) zu bezeichnen. Wir können also Gleichheit mithilfe von Ausdrücken schreiben:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Hier:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
wobei a1 und b1 relative Primzahlen sind.
Die oben erhaltene Bedingung, dass a ⋅ k durch b teilbar ist, ermöglicht es uns, den folgenden Ausdruck zu schreiben: a1 ⋅ d ⋅ k ist durch b1 ⋅ d teilbar, und dies ist gemäß den Eigenschaften der Teilbarkeit äquivalent zu Bedingung, dass a1 ⋅ k durch b1 teilbar ist.
Da a1 ⋅ k durch b1 teilbar ist und a1 nicht durch b1 teilbar ist (a1 und b1 sind teilerfremde Zahlen), muss k gemäß den Eigenschaften von teilerfremden Zahlen durch b1 teilbar sein. In diesem Fall müssen wir eine ganze Zahl t haben, für die der Ausdruck wahr ist:
- k = b1 ⋅ t,
und seitdem
- b1 = b / d,
dann:
- k = b / d ⋅ t.
Einsetzen in den Ausdruck
- m = a ⋅ k
Anstelle von k ist sein Ausdruck b / d ⋅ t, wir kommen zur endgültigen Gleichheit:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Wir haben also eine Gleichheit erhalten, die die Form aller gemeinsamen Vielfachen von a und b angibt. Da a und b aufgrund der Bedingung positive Zahlen sind, erhalten wir für t = 1 ihr kleinstes positives gemeinsames Vielfaches, das gleich a ⋅ b / d ist.
Damit haben wir das bewiesen
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Die Kenntnis der grundlegenden Bestimmungen und Regeln des LCM hilft, seine praktische Bedeutung in der Mathematik besser zu verstehen und ermöglicht es Ihnen, es aktiv als angewandte Einheit in Berechnungen zu verwenden, bei denen die Kenntnis des LCM-Werts eine Voraussetzung ist.