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Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) ist ein mathematischer Indikator, den ein Schüler kennen muss, um effektiv mit Brüchen arbeiten zu können. NOC wird als Teil des Lehrplans der Sekundarstufe studiert, und trotz der scheinbaren Komplexität des Stoffes wird dieses Thema für einen Schüler, der das Einmaleins kennt und weiß, wie man mit Abschlüssen arbeitet, keine Probleme bereiten.

LCM-Definition

Bevor man sich mit dem LCM vertraut macht, ist es notwendig, sein umfassenderes Konzept zu verstehen – wir sprechen über die Definition des Begriffs „gemeinsames Vielfaches“ und seine Rolle in praktischen Berechnungen.

Ein gemeinsames Vielfaches mehrerer Zahlen ist eine natürliche Zahl, die durch jede dieser Zahlen ohne Rest geteilt werden kann. Mit anderen Worten, ein gemeinsames Vielfaches einer Reihe von ganzen Zahlen ist jede ganze Zahl, die durch jede der Zahlen in der gegebenen Reihe teilbar ist.

In unserem Fall konzentrieren wir uns auf gemeinsame Vielfache ganzer Zahlen, von denen keines gleich Null ist.

Was die Anzahl der natürlichen Zahlen betrifft, auf die wir das Konzept des „gemeinsamen Vielfachen“ anwenden können, dann kann es zwei, drei, vier oder mehr davon in einer Reihe geben.

Das beliebteste der gemeinsamen Vielfachen ist das kleinste gemeinsame Vielfache – das LCM ist der positive Wert des kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Zahlen in der Reihe.

NOC-Beispiele

Aus der Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und seinem mathematischen Wesen folgt, dass mehrere Zahlen immer ein KGV haben.

Die kürzeste Form für das kleinste gemeinsame Vielfache ist:

a1, a2, ..., ak der Form LCM (a1, a2, ..., ak).

Darüber hinaus findet man in einigen Quellen die folgende Schreibweise:

a1, a2, ..., ak der Form [a1, a2, ..., ak].

Um ein Beispiel zu veranschaulichen, nehmen wir das LCM von zwei ganzen Zahlen: 4 und 5. Der resultierende Ausdruck sieht folgendermaßen aus:

LCM(4, 5) = 20.

Wenn wir das LCM für die folgenden vier Zahlen nehmen: 3, −9, 5, −15, erhalten wir die Notation:

LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Selbst die einfachsten Schreibbeispiele zeigen, dass es alles andere als einfach ist, das kleinste gemeinsame Vielfache für eine Gruppe von Zahlen zu finden, und dass der Prozess, es zu finden, ziemlich kompliziert sein kann. Es gibt spezielle Algorithmen und Techniken, die bei der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen aktiv eingesetzt werden.

Wie LCM und GCD zusammenhängen

Ein in mathematischen Berechnungen bekannter Wert, der als kleinster gemeinsamer Teiler (im Folgenden als GCD bezeichnet) bezeichnet wird, wird durch den folgenden Satz mit LCM in Verbindung gebracht: „Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zweier positiver Ganzzahlen a und b ist gleich.“ das Produkt der Zahlen a und b dividiert durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von a und b".

Sie können diesen Satz mit einem mathematischen Ausdruck wie folgt beschreiben:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Als Beweis dieses Theorems präsentieren wir einige mathematische Untersuchungen.

Sagen wir, m ist ein bestimmtes Vielfaches von a und b. Dementsprechend ist m durch a teilbar, und nach der Definition der Teilbarkeit gibt es eine ganze Zahl k, mit der wir die Gleichheit schreiben können:

m = a ⋅ k.

Aber wir wissen auch, dass m auch durch b teilbar ist, also ist a ⋅ k auch durch b teilbar.

Wir werden das Symbol d verwenden, um den Ausdruck GCD (a, b) zu bezeichnen. Wir können also Gleichheit mithilfe von Ausdrücken schreiben:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Hier:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

wobei a1 und b1 relative Primzahlen sind.

Die oben erhaltene Bedingung, dass a ⋅ k durch b teilbar ist, ermöglicht es uns, den folgenden Ausdruck zu schreiben: a1 ⋅ d ⋅ k ist durch b1 ⋅ d teilbar, und dies ist gemäß den Eigenschaften der Teilbarkeit äquivalent zu Bedingung, dass a1 ⋅ k durch b1 teilbar ist.

Da a1 ⋅ k durch b1 teilbar ist und a1 nicht durch b1 teilbar ist (a1 und b1 sind teilerfremde Zahlen), muss k gemäß den Eigenschaften von teilerfremden Zahlen durch b1 teilbar sein. In diesem Fall müssen wir eine ganze Zahl t haben, für die der Ausdruck wahr ist:

k = b1 ⋅ t,

und seitdem

b1 = b / d,

dann:

k = b / d ⋅ t.

Einsetzen in den Ausdruck

m = a ⋅ k

Anstelle von k ist sein Ausdruck b / d ⋅ t, wir kommen zur endgültigen Gleichheit:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Wir haben also eine Gleichheit erhalten, die die Form aller gemeinsamen Vielfachen von a und b angibt. Da a und b aufgrund der Bedingung positive Zahlen sind, erhalten wir für t = 1 ihr kleinstes positives gemeinsames Vielfaches, das gleich a ⋅ b / d ist.

Damit haben wir das bewiesen

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Die Kenntnis der grundlegenden Bestimmungen und Regeln des LCM hilft, seine praktische Bedeutung in der Mathematik besser zu verstehen und ermöglicht es Ihnen, es aktiv als angewandte Einheit in Berechnungen zu verwenden, bei denen die Kenntnis des LCM-Werts eine Voraussetzung ist.

So wird das kleinste gemeinsame Vielfache ermittelt

Eine der ersten Fragen, die sich bei der Untersuchung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) stellen: Welche praktische Bedeutung hat es und wie kann es bei mathematischen Berechnungen nützlich sein?

Natürlich gibt es in einer Wissenschaft wie der Mathematik keine nutzlosen Funktionen, jede davon ist für die Durchführung bestimmter Berechnungen notwendig. NOC ist keine Ausnahme.

Wo LCM gilt

Am häufigsten wird LCM in Berechnungen verwendet, bei denen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden müssen. Diese Aktion findet sich in Beispielen und Aufgaben der meisten Schulprogramme. In der Regel handelt es sich dabei um Unterrichtsmaterialien im Rahmen des Gymnasiums.

Darüber hinaus kann das LCM als gemeinsamer Teiler für alle Vielfachen fungieren, wenn diese Bedingungen im zur Lösung vorgesehenen Problem vorliegen.

In der Praxis gibt es Probleme, bei denen es darum geht, ein Vielfaches nicht nur von zwei Zahlen zu finden, sondern auch von einer viel größeren Zahl von ihnen – drei, fünf ... Je größer die Zahl der Zahlen im Anfangsbuchstaben ist Je abhängiger die Bedingungen sind, desto mehr Maßnahmen müssen wir im Prozess der Problemlösung durchführen. Die gute Nachricht ist, dass die Komplexität der Lösung in diesem Fall nicht zunehmen wird. Lediglich der Maßstab der Berechnungen wird sich ändern.

Methoden zum Auffinden des LCM

Erster Weg

Als Beispiel berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 250, 600 und 1500.

Beginnen wir mit der Faktorisierung der Zahlen:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

In diesem Beispiel haben wir ohne Reduktion faktorisiert.

Als nächstes führen wir ähnliche Aktionen mit den restlichen Zahlen durch:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

Um einen Ausdruck zu verfassen, müssen alle Faktoren angegeben werden, in unserem Fall sind es 2, 3, 5 – für diese Zahlen müssen Sie den maximalen Grad bestimmen.

LCM = 3000.

Es ist zu beachten, dass alle Multiplikatoren vollständig vereinfacht werden müssen. Wenn möglich, zerlegen Sie es auf die Ebene der Eindeutigkeit.

Als nächstes prüfen wir:

3000 / 250 = 12 ist richtig;
3000 / 600 = 5 ist richtig;
3000 / 1500 = 2 ist richtig.

Der Vorteil dieser Methode zur Berechnung des LCM ist ihre Einfachheit – eine solche Berechnung erfordert keine besonderen Fähigkeiten und hohe Kenntnisse in Mathematik.

Zweiter Weg

Viele mathematische Berechnungen lassen sich vereinfachen, indem man sich die Möglichkeit zunutze macht, sie in mehreren Schritten durchzuführen. Das Gleiche gilt für die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

Die Methode, die wir uns unten ansehen, funktioniert sowohl für einstellige als auch für zweistellige Beispiele.

Für eine einfachere und visuellere Darstellung des Prozesses müssen wir eine Tabelle erstellen, in die die folgenden Werte eingetragen werden:

in Spalten – Multiplikand;
zu Zeilen – Multiplikator.

Die Zellen am Schnittpunkt enthalten die Werte der Produkte des Multiplikanden und des Multiplikators. Für diejenigen, die nicht gerne mit Tabellen arbeiten, gibt es eine einfachere Form des Schreibens – in einer Zeile, in der die Ergebnisse unserer Zahl in ganze Zahlen von eins bis unendlich geschrieben werden. In manchen Fällen reicht es aus, 3-5 Punkte aufzuschreiben. Die übrigen Zahlen unterliegen einem ähnlichen Berechnungsprozess. Diese Aktion wird ausgeführt, bis ein gemeinsames Vielfaches gefunden wird, das kleinste für alle Werte.

Finden Sie das gemeinsame Vielfache der Zahlen 30, 35 und 42:

Finden Sie Vielfache von 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Finden Sie Vielfache von 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Finden Sie Vielfache von 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Wir haben drei Zahlenreihen erhalten, die sich voneinander unterscheiden, jedoch gibt es in jeder Reihe die gleiche Zahl – 210. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen.

Wir haben uns die einfachsten Möglichkeiten angesehen, das kleinste gemeinsame Vielfache einer Zahlenreihe zu berechnen. Es gibt andere spezielle Algorithmen, die möglicherweise einige Unterschiede im Berechnungsprozess aufweisen, während das Ergebnis der Berechnung dasselbe ist. Darüber hinaus finden Sie im Internet mittlerweile eine Vielzahl von Online-Rechnern, mit denen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) ohne umständliche Selbstberechnung ermitteln können.