最小公倍数计算器

最小公倍数 (LCM) 是学生需要知道的数学指标，以便有效地处理分数。 NOC 作为中学课程的一部分进行研究，尽管材料表面上看起来很复杂，但对于知道乘法口诀表和知道如何处理度数的学生来说，这个主题不会造成问题。

LCM定义

在开始熟悉 LCM 之前，有必要了解其更广泛的概念 - 我们正在讨论术语“公倍数”的定义及其在实际计算中的作用。

几个数的公倍数是一个自然数，可以除以这些数中的每一个而没有余数。 换句话说，一系列整数的公倍数是可以被给定系列中的每个数字整除的任何整数。

在我们的例子中，我们将关注整数的公倍数，其中没有一个等于零。

关于自然数的个数，我们可以套用“公倍数”的概念，那么一个数列中可以有两个、三个、四个甚至更多。

最常见的公倍数是最小公倍数 - LCM 是系列中所有数字的最小公倍数的正值。

NOC 示例

从最小公倍数的定义及其数学本质可知，数个数总有一个最小公倍数。

最小公倍数的最短形式是：

• a1, a2, ..., 形式为 LCM (a1, a2, ..., ak) 的 ak。

此外，在一些资料中您可以找到以下形式的写作：

• a1, a2, ..., ak 形式为 [a1, a2, ..., ak]。

为了演示一个示例，让我们采用两个整数的 LCM：4 和 5。生成的表达式将如下所示：

• LCM(4, 5) = 20。

如果我们对以下四个数字取 LCM：3、-9、5、-15，我们得到符号：

• LCM(3, −9, 5, −15) = 45。

即使是最简单的写作示例也表明，找到一组数字的最小公倍数绝非易事，而且找到它的过程可能相当复杂。 在计算最小公倍数时，有一些特殊的算法和技术被积极使用。

LCM和GCD有什么关系

数学计算中已知的一个值，称为最小公约数（以下简称GCD），通过以下定理与LCM相关联：“两个正整数a和b的最小公倍数（LCM）等于数字 a 和 b 除以 a 和 b 的最大公约数 (gcd) 的乘积。

您可以使用如下数学表达式来描述这个定理：

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)。

作为这个定理的证明，我们提出了一些数学研究。

假设 m 是 a 和 b 的特定倍数。 因此，m 可以被 a 整除，并且根据可整除性的定义，存在某个整数 k，我们可以用它写出等式：

• m = a ⋅ k。

但是，我们也知道 m 也可以被 b 整除，所以 a ⋅ k 也可以被 b 整除。

我们将使用符号 d 来表示表达式 GCD (a, b)。 所以我们可以用表达式来写相等：

• a = a1 ⋅ d,
• b = b1 ⋅ d.

这里：

• a1 = a / d,
• b1 = b / d,

其中 a1 和 b1 是互质数。

上面得到的 a ⋅ k 可以被 b 整除的条件允许我们写出下面的表达式： a1 ⋅ d ⋅ k 可以被 b1 ⋅ d 整除，根据整除性的性质，这等价于条件是 a1 ⋅ k 可以被 b1 整除。

因此，根据互质数的性质，由于a1 ⋅ k可以被b1整除，而a1不能被b1整除（a1和b1是互质数），那么k一定可以被b1整除。 在这种情况下，我们必须有一些整数 t，其表达式为真：

• k = b1 ⋅ t,

从那以后

• b1 = b / d,

然后：

• k = b / d ⋅ t。

代入表达式

• m = a ⋅ k

代替 k 它的表达式是 b / d ⋅ t，我们得出最终的等式：

• m = a ⋅ b / d ⋅ t。

所以我们得到了一个等式，它指定了 a 和 b 的所有公倍数的形式。 由于根据条件 a 和 b 是正数，因此对于 t = 1，我们得到它们的最小正公倍数，等于 a ⋅ b / d。

因此，我们证明了

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)。

了解与 LCM 相关的基本规定和规则有助于更好地理解其在数学中的实际意义，还可以让您积极地将其用作计算中的应用单元，其中了解 LCM 值是先决条件。