Bội số chung nhỏ nhất (LCM) là một chỉ số toán học mà học sinh cần biết để làm việc hiệu quả với các phân số. NOC được nghiên cứu như một phần của chương trình giảng dạy ở trường trung học và mặc dù tài liệu có vẻ phức tạp nhưng chủ đề này sẽ không gây khó khăn cho học sinh đã biết bảng cửu chương và biết cách làm việc với các bậc.
Định nghĩa LCM
Trước khi bắt đầu làm quen với LCM, cần phải hiểu khái niệm rộng hơn của nó - chúng ta đang nói về định nghĩa của thuật ngữ "bội số chung" và vai trò của nó trong tính toán thực tế.
Bội chung của một số là một số tự nhiên có thể chia hết cho mỗi số đó mà không có số dư. Nói cách khác, bội chung của một dãy số nguyên là bất kỳ số nguyên nào chia hết cho mỗi số trong dãy đã cho.
Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta sẽ tập trung vào bội chung của các số nguyên, không có bội nào bằng 0.
Đối với số lượng các số tự nhiên, liên quan đến chúng ta có thể áp dụng khái niệm "bội số chung", thì có thể có hai, ba, bốn hoặc nhiều hơn trong một chuỗi.
Bội phổ biến nhất của bội số chung là bội số chung nhỏ nhất - LCM là giá trị dương của bội số chung nhỏ nhất của tất cả các số trong chuỗi.
Ví dụ về NOC
Từ định nghĩa của bội chung nhỏ nhất và bản chất toán học của nó, suy ra rằng một số số luôn có ƯCLN.
Dạng ngắn nhất của bội chung nhỏ nhất là:
- a1, a2, ..., ak có dạng LCM (a1, a2, ..., ak).
Ngoài ra, trong một số nguồn, bạn có thể tìm thấy dạng viết sau:
- a1, a2, ..., ak có dạng [a1, a2, ..., ak].
Để minh họa một ví dụ, hãy lấy LCM của hai số nguyên: 4 và 5. Biểu thức kết quả sẽ như sau:
- LCM(4, 5) = 20.
Nếu lấy ƯCLN của bốn số sau: 3, −9, 5, −15, ta được kí hiệu:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Ngay cả những ví dụ viết đơn giản nhất cũng cho thấy rằng việc tìm bội chung nhỏ nhất cho một nhóm số không hề dễ dàng và quá trình tìm bội có thể khá phức tạp. Có các thuật toán và kỹ thuật đặc biệt được sử dụng tích cực khi tính bội số chung nhỏ nhất.
LCM và GCD có liên quan như thế nào
Một giá trị được biết đến trong các phép tính toán học, được gọi là ước chung nhỏ nhất (gọi tắt là GCD), được liên kết với LCM thông qua định lý sau: “bội số chung nhỏ nhất (LCM) của hai số nguyên dương a và b bằng tích của hai số a và b chia cho ước chung lớn nhất (gcd) của a và b".
Bạn có thể mô tả định lý này bằng một biểu thức toán học như sau:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Để chứng minh định lý này, chúng tôi trình bày một số nghiên cứu toán học.
Giả sử m là một bội số nào đó của a và b. Theo đó, m chia hết cho a, và theo định nghĩa chia hết, tồn tại một số nguyên k mà chúng ta có thể viết đẳng thức:
- m = a ⋅ k.
Nhưng chúng ta cũng biết rằng m cũng chia hết cho b nên a ⋅ k cũng chia hết cho b.
Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu d để biểu thị biểu thức GCD (a, b). Vì vậy, chúng ta có thể viết đẳng thức bằng cách sử dụng các biểu thức:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Tại đây:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
trong đó a1 và b1 là các số nguyên tố tương đối.
Điều kiện có được ở trên là a ⋅ k chia hết cho b cho phép chúng ta viết biểu thức sau: a1 ⋅ d ⋅ k chia hết cho b1 ⋅ d, và điều này, theo các tính chất của phép chia hết, tương đương với điều kiện là a1 ⋅ k chia hết cho b1 .
Do đó, theo tính chất của số nguyên tố cùng nhau, vì a1 ⋅ k chia hết cho b1 và a1 không chia hết cho b1 (a1 và b1 là hai số nguyên tố cùng nhau) nên k phải chia hết cho b1. Trong trường hợp này, chúng ta phải có một số nguyên t mà biểu thức là đúng:
- k = b1 ⋅ t,
và kể từ đó
- b1 = b / d,
thì:
- k = b / d ⋅ t.
Thay vào biểu thức
- m = a ⋅ k
thay k biểu thức của nó là b / d ⋅ t, ta đi đến đẳng thức cuối cùng:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Vậy ta có một đẳng thức xác định dạng của tất cả các bội chung của a và b. Vì a và b là các số dương theo điều kiện, nên với t = 1, ta có bội số chung dương nhỏ nhất của chúng, bằng a ⋅ b / d.
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Biết các quy định và quy tắc cơ bản liên quan đến LCM giúp hiểu rõ hơn về ý nghĩa thực tiễn của nó trong toán học, đồng thời cho phép bạn chủ động sử dụng nó như một đơn vị ứng dụng trong các phép tính trong đó kiến thức về giá trị LCM là điều kiện tiên quyết.
