کم سے کم عام ملٹیپل (LCM) ایک ریاضیاتی اشارے ہے جسے ایک طالب علم کو کسر کے ساتھ مؤثر طریقے سے کام کرنے کے لیے جاننے کی ضرورت ہے۔ NOC کا مطالعہ ثانوی اسکول کے نصاب کے حصے کے طور پر کیا جاتا ہے، اور مواد کی ظاہری پیچیدگی کے باوجود، یہ موضوع کسی ایسے طالب علم کے لیے مسائل کا باعث نہیں بنے گا جو ضرب کی جدول جانتا ہے اور ڈگریوں کے ساتھ کام کرنا جانتا ہے۔
LCM تعریف
LCM سے واقفیت شروع کرنے سے پہلے، اس کے وسیع تر تصور کو سمجھنا ضروری ہے - ہم "عام کثیر" کی اصطلاح کی تعریف اور عملی حسابات میں اس کے کردار کے بارے میں بات کر رہے ہیں۔
متعدد نمبروں کا ایک مشترکہ ضرب ایک فطری عدد ہے جسے ان میں سے ہر ایک عدد سے بغیر کسی بقیہ کے تقسیم کیا جاسکتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، عدد کی سیریز کا ایک مشترکہ ضرب کوئی بھی عدد عدد ہے جو دی گئی سیریز کے ہر اعداد سے قابل تقسیم ہے۔
ہمارے معاملے میں، ہم عدد کے مشترکہ ضرب پر توجہ مرکوز کریں گے، جن میں سے کوئی بھی صفر کے برابر نہیں ہے۔
جہاں تک قدرتی اعداد کی تعداد کا تعلق ہے، جس کے سلسلے میں ہم "مشترکہ کثیر" کے تصور کو لاگو کر سکتے ہیں، تو ایک سلسلہ میں ان میں سے دو، تین، چار یا زیادہ ہو سکتے ہیں۔
مشترکہ ضربوں میں سب سے زیادہ مقبول کم از کم مشترکہ ضرب ہے - LCM سیریز میں موجود تمام نمبروں کے سب سے چھوٹے مشترک ضرب کی مثبت قدر ہے۔
این او سی کی مثالیں
کم سے کم مشترک کثیر کی تعریف اور اس کے ریاضیاتی جوہر سے، یہ مندرجہ ذیل ہے کہ کئی نمبروں کا ہمیشہ ایک LCM ہوتا ہے۔
کم سے کم مشترکہ کثیر کے لیے مختصر ترین شکل ہے:
- a1, a2, ..., ak فارم LCM کا (a1, a2, ..., ak)۔
اس کے علاوہ، کچھ ذرائع میں آپ کو تحریر کی درج ذیل شکل مل سکتی ہے:
- a1, a2, ..., ak کی شکل [a1, a2, ..., ak]۔
ایک مثال کو ظاہر کرنے کے لیے، آئیے دو انٹیجرز کا LCM لیں: 4 اور 5۔ نتیجہ کا اظہار اس طرح نظر آئے گا:
- LCM(4, 5) = 20۔
اگر ہم مندرجہ ذیل چار نمبروں کے لیے LCM لیں: 3، −9، 5، −15، تو ہمیں اشارہ ملتا ہے:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45۔
یہاں تک کہ لکھنے کی سب سے آسان مثالیں بھی ظاہر کرتی ہیں کہ نمبروں کے گروپ کے لیے کم سے کم عام ملٹیپل تلاش کرنا آسان نہیں ہے، اور اسے تلاش کرنے کا عمل کافی پیچیدہ ہو سکتا ہے۔ خاص الگورتھم اور تکنیکیں ہیں جو کم سے کم عام کثیر کا حساب لگاتے وقت فعال طور پر استعمال ہوتی ہیں۔
LCM اور GCD کا تعلق کیسے ہے
ریاضی حسابات میں ایک قدر جانی جاتی ہے، جسے کم سے کم عام تقسیم کہا جاتا ہے (اس کے بعد GCD کہا جاتا ہے)، مندرجہ ذیل تھیوریم کے ذریعے LCM سے منسلک ہوتا ہے: "دو مثبت عدد a اور b کا کم سے کم مشترکہ کثیر (LCM) برابر ہے a اور b کے سب سے بڑے مشترک تقسیم (gcd) سے تقسیم کردہ اعداد کی پیداوار۔
آپ اس تھیوریم کو ریاضیاتی اظہار کا استعمال کرتے ہوئے اس طرح بیان کر سکتے ہیں:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)۔
اس نظریہ کے ثبوت کے طور پر، ہم کچھ ریاضیاتی تحقیق پیش کرتے ہیں۔
آئیے کہتے ہیں کہ m a اور b کا ایک مخصوص ضرب ہے۔ اس کے مطابق، m کو a سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، اور تقسیم کی تعریف کے مطابق، کچھ عدد k ہے، جس کے ساتھ ہم مساوات لکھ سکتے ہیں:
- m = a ⋅ k.
لیکن، ہم یہ بھی جانتے ہیں کہ m بھی قابل تقسیم ہے b، اس لیے a ⋅ k بھی قابل تقسیم b ہے۔
ہم اظہار GCD (a, b) کو ظاہر کرنے کے لیے علامت d کا استعمال کریں گے۔ لہذا ہم ایکسپریشنز کا استعمال کرتے ہوئے مساوات لکھ سکتے ہیں:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
یہاں:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
جہاں a1 اور b1 نسبتاً پرائم نمبر ہیں۔
اوپر حاصل کی گئی شرط کہ a ⋅ k کو b سے تقسیم کیا جا سکتا ہے ہمیں مندرجہ ذیل اظہار لکھنے کی اجازت دیتا ہے: a1 ⋅ d ⋅ k b1 ⋅ d سے قابل تقسیم ہے، اور یہ، تقسیم کی خصوصیات کے مطابق، کے برابر ہے۔ شرط یہ ہے کہ a1 ⋅ k قابل تقسیم ہے b1 سے۔
لہذا، کوپرائم نمبرز کی خصوصیات کے مطابق، چونکہ a1 ⋅ k کو b1 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، اور a1 b1 سے قابل تقسیم نہیں ہے (a1 اور b1 coprime نمبرز ہیں)، تو k کو b1 سے قابل تقسیم ہونا چاہیے۔ اس صورت میں، ہمارے پاس کچھ عدد t ہونا چاہیے جس کے لیے اظہار درست ہے:
- k = b1 ⋅ t،
اور تب سے
- b1 = b / d,
پھر:
- k = b / d ⋅ t.
اظہار میں بدلنا
- m = a ⋅ k
k کے بجائے اس کا اظہار b / d ⋅ t ہے، ہم حتمی مساوات پر پہنچتے ہیں:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
تو ہمیں ایک برابری ملی جو a اور b کے تمام مشترکہ ضربوں کی شکل بتاتی ہے۔ چونکہ a اور b شرط کے لحاظ سے مثبت اعداد ہیں، اس لیے t = 1 کے لیے ہمیں ان کا کم از کم مثبت مشترک ضرب ملتا ہے، جو ایک ⋅ b / d کے برابر ہے۔
اس طرح، ہم نے ثابت کیا ہے کہ
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)۔
LCM سے وابستہ بنیادی دفعات اور قواعد کو جاننے سے ریاضی میں اس کی عملی اہمیت کو بہتر طور پر سمجھنے میں مدد ملتی ہے، اور یہ آپ کو حساب میں ایک لاگو یونٹ کے طور پر فعال طور پر استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے جس میں LCM قدر کا علم ہونا شرط ہے۔
