Калькулятор НСК

Інші інструменти

Калькулятор найменшого спільного кратного

Найменше загальне кратне (НОК) — математичний показник, який необхідно знати школяреві для ефективної роботи з дробами. НОК вивчають у рамках навчальних програм середньої школи, і, незважаючи на складність матеріалу, дана тема не завдасть проблем учню, який знає таблицю множення і вміє працювати зі ступенями.

Визначення НОК

Перш ніж приступити до знайомства з НОК, необхідно розібратися з його ширшим поняттям — йдеться про визначення терміна «загальне кратне» та його роль у практичних розрахунках.

Загальним кратним для кількох чисел є натуральне число, яке може ділитися на кожне з цих чисел без залишку. Іншими словами, загальним кратним ряду цілих чисел називається будь-яке ціле число, поділене на кожне з чисел цього ряду.

У нашому випадку ми зупинимося на загальних кратних цілих чисел, жодне з яких не дорівнює нулю.

Щодо кількості натуральних чисел, щодо яких ми можемо застосовувати поняття «загальне кратне», то таких у ряді може бути два, три, чотири і більше.

Найпопулярнішим із загальних кратних є найменше загальне кратне — НОК — це позитивне значення найменшого значення загального кратного для всіх чисел ряду.

Приклади запису НОК

З визначення найменшого загального кратного та його математичної сутності випливає, що кілька чисел завжди мають НОК.

Для короткого запису найменшого загального кратного використовується така форма:

a1, a2, ..., до виду НОК (a1, a2, ..., ak).

Крім того, в деяких джерелах можна зустріти наступну форму запису:

a1, a2, ..., до виду [a1, a2, ..., ak].

Для демонстрації прикладу, візьмемо НОК двох цілих чисел: 4 і 5. Запис отриманого виразу виглядатиме так:

НОК (4, 5) = 20.

Якщо ми візьмемо НОК для наступних чотирьох чисел: 3, −9, 5, −15, то отримаємо запис:

НОК (3, −9, 5, −15) = 45.

Навіть найпростіші приклади запису показують, що знайти найменше загальне кратне групи чисел виходить далеко ще не відразу, і процес його пошуку може бути досить складним. Існують спеціальні алгоритми та методики, якими активно користуються при розрахунку найменшого загального кратного.

Як пов'язані НОК і НОД

Відому в математичних розрахунках величину, звану найменшим загальним дільником (далі за текстом — НОД), пов'язують з НОК за допомогою наступної теореми: «найменше загальне кратне (НОК) двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший спільний дільник (НОД) чисел a та b».

Описати цю теорему за допомогою математичного виразу можна так:

НОК (a, b) = a ⋅ b / НОД (a, b).

Як доказ цієї теореми, наведемо деякі математичні дослідження.

Припустимо, m — це певне кратне чисел a та b. Відповідно, m ділиться на a, і, за визначенням ділимості, є деяке ціле число k, за допомогою якого можемо записати рівність:

m = a ⋅ k.

Але, ми також знаємо, що m ділиться ще на b, отже, a ⋅ k також ділиться на b.

Для позначення виразу НОД (a, b) використовуватимемо символ d. Отже, рівність ми можемо написати за допомогою виразів:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Тут:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

де a1 та b1 — взаємно прості числа.

Отримана вище умова, що a ⋅ k ділиться на b, дозволяє нам записати наступний вираз: a1 ⋅ d ⋅ k ділиться на b1 ⋅ d, а це, відповідно до властивостей ділимості, еквівалентно умові, що a1 ⋅ k ділиться на b1 .

Отже, відповідно до властивостей взаємно простих чисел, оскільки a1 ⋅ k ділиться на b1 і a1 не ділиться на b1 (a1 і b1 є взаємно простими числами), то на b1 має ділитися k. У такому разі, у нас має бути деяке ціле число t, для якого справедливий вираз:

k = b1 ⋅ t,

а оскільки

b1 = b / d,

то:

k = b / d ⋅ t.

Підставивши у вираз

m = a ⋅ k

замість його виразу виду b / d ⋅ t, приходимо до підсумкової рівності:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Так ми здобули рівність, що задає вигляд усіх загальних кратних чисел a і b. Оскільки a і b за умовою — числа позитивні, то за t = 1 ми отримуємо їх найменше позитивне загальне кратне, яке дорівнює a ⋅ b / d.

Таким чином ми довели, що

НОК (a, b) = a ⋅ b / НОД (a, b).

Знання основних положень і правил, пов'язаних з НОК допомагає краще розуміти його практичне значення в математиці, а також дозволяє активно застосовувати його як прикладну одиницю в розрахунках, в яких знання величини НОК є обов'язковою умовою.

Як знайти найменше спільне кратне (НСК)

Одне з перших питань, що виникають при вивченні найменшого загального кратного (НОК): у чому його практичний зміст, і чим він може бути корисним у математичних розрахунках?

Зрозуміло, в такій науці, як математика, не буває марних функцій, кожна з них необхідна для проведення конкретних розрахунків. НОК не є винятком.

Де застосовується НОК

Найчастіше НОК застосовується у розрахунках, які вимагають привести дроби до спільного знаменника. Ця дія зустрічається в прикладах і завдання більшості шкільних програм. Як правило, це навчальний матеріал у рамках середньої школи.

Крім того, НОК може виступати як спільний дільник для всіх кратних чисел, за наявності даних умов у наданому до вирішення задачі.

На практиці виникають завдання, в яких є необхідність знаходження кратного не тільки до двох чисел, а й до набагато більшої їх кількості — до трьох, п'яти... Чим більшою буде кількість чисел у вихідних умовах — тим більше дій ми маємо зробити у процесі розв'язання задачі. Хороша новина полягає в тому, що складність рішення при цьому вищою не стане. Зміняться лише масштаби обчислень.

Спосіб знаходження НОК

Перший спосіб

Як приклад зробимо обчислення найменшого загального кратного для чисел 250, 600 та 1500.

Почнемо з того, що розкладемо числа на множники:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

У цьому прикладі ми розклали множники без скорочення.

Далі проводимо аналогічні дії з іншими числами:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

Для складання виразу необхідно позначити всі множники, у нашому випадку це 2, 3, 5 — для цих чисел потрібно визначити максимальний ступінь.

НОК = 3000.

Слід звернути увагу, що всі множники потрібно доводити до повного спрощення. За наявності такої можливості розкладати до рівня однозначних.

Далі здійснюємо перевірку:

3000 / 250 = 12 - правильно;
3000 / 600 = 5 - правильно;
3000 / 1500 = 2 - правильно.

Перевага цього методу обчислення НОК полягає в його простоті — для такого розрахунку не потрібні спеціальні навички та високі пізнання в математиці.

Другий спосіб

Багато математичних розрахунків вдається спростити, скориставшись можливістю проводити їх у кілька дій. Те саме стосується і обчислення найменшого загального кратного.

Спосіб, який ми розглянемо нижче, підходить для прикладів як з однозначними, так і двозначними числами.

Для більш простого та наочного уявлення процесу нам знадобиться скласти таблицю, в яку будуть вноситися такі значення:

у стовпці — множинне;
у рядку — множник.

У клітинах на перетині будуть записані значення творів множини та множника. Для тих, хто не любить працювати з таблицями є простіша форма запису — у рядок, в який записуються результати нашого числа на цілі числа від одного до нескінченності. У деяких випадках достатньо записати 3-5 пунктів. Інші числа підлягають аналогічному процесу обчислення. Ця дія здійснюється доти, доки не знайдеться загальна кратна, найменша для всіх значень.

Знайдемо загальне кратне для чисел 30, 35 та 42:

Знаходимо значення, кратні 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Знаходимо значення, кратні 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Знаходимо значення, кратні 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Ми отримали три ряди чисел, які відрізняються один від одного, проте в кожному ряді зустрічається одне й те саме число — 210. Саме воно є найменшим загальним кратним для заданих чисел.

Ми розглянули найпростіші способи обчислення найменшого загального кратного ряду чисел. Є й інші спеціальні алгоритми, можуть мати деякі відмінності у процесі розрахунку, у своїй результат обчислення буде аналогічним. Крім того, в даний час в мережі можна знайти велику кількість онлайн-калькуляторів, що дозволяють знайти найменше загальне кратне (НОК) без громіздкого самостійного розрахунку.