Калькулятор найменшого спільного кратного
Найменше загальне кратне (НОК) — математичний показник, який необхідно знати школяреві для ефективної роботи з дробами. НОК вивчають у рамках навчальних програм середньої школи, і, незважаючи на складність матеріалу, дана тема не завдасть проблем учню, який знає таблицю множення і вміє працювати зі ступенями.
Визначення НОК
Перш ніж приступити до знайомства з НОК, необхідно розібратися з його ширшим поняттям — йдеться про визначення терміна «загальне кратне» та його роль у практичних розрахунках.
Загальним кратним для кількох чисел є натуральне число, яке може ділитися на кожне з цих чисел без залишку. Іншими словами, загальним кратним ряду цілих чисел називається будь-яке ціле число, поділене на кожне з чисел цього ряду.
У нашому випадку ми зупинимося на загальних кратних цілих чисел, жодне з яких не дорівнює нулю.
Щодо кількості натуральних чисел, щодо яких ми можемо застосовувати поняття «загальне кратне», то таких у ряді може бути два, три, чотири і більше.
Найпопулярнішим із загальних кратних є найменше загальне кратне — НОК — це позитивне значення найменшого значення загального кратного для всіх чисел ряду.
Приклади запису НОК
З визначення найменшого загального кратного та його математичної сутності випливає, що кілька чисел завжди мають НОК.
Для короткого запису найменшого загального кратного використовується така форма:
- a1, a2, ..., до виду НОК (a1, a2, ..., ak).
Крім того, в деяких джерелах можна зустріти наступну форму запису:
- a1, a2, ..., до виду [a1, a2, ..., ak].
Для демонстрації прикладу, візьмемо НОК двох цілих чисел: 4 і 5. Запис отриманого виразу виглядатиме так:
- НОК (4, 5) = 20.
Якщо ми візьмемо НОК для наступних чотирьох чисел: 3, −9, 5, −15, то отримаємо запис:
- НОК (3, −9, 5, −15) = 45.
Навіть найпростіші приклади запису показують, що знайти найменше загальне кратне групи чисел виходить далеко ще не відразу, і процес його пошуку може бути досить складним. Існують спеціальні алгоритми та методики, якими активно користуються при розрахунку найменшого загального кратного.
Як пов'язані НОК і НОД
Відому в математичних розрахунках величину, звану найменшим загальним дільником (далі за текстом — НОД), пов'язують з НОК за допомогою наступної теореми: «найменше загальне кратне (НОК) двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший спільний дільник (НОД) чисел a та b».
Описати цю теорему за допомогою математичного виразу можна так:
- НОК (a, b) = a ⋅ b / НОД (a, b).
Як доказ цієї теореми, наведемо деякі математичні дослідження.
Припустимо, m — це певне кратне чисел a та b. Відповідно, m ділиться на a, і, за визначенням ділимості, є деяке ціле число k, за допомогою якого можемо записати рівність:
- m = a ⋅ k.
Але, ми також знаємо, що m ділиться ще на b, отже, a ⋅ k також ділиться на b.
Для позначення виразу НОД (a, b) використовуватимемо символ d. Отже, рівність ми можемо написати за допомогою виразів:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Тут:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
де a1 та b1 — взаємно прості числа.
Отримана вище умова, що a ⋅ k ділиться на b, дозволяє нам записати наступний вираз: a1 ⋅ d ⋅ k ділиться на b1 ⋅ d, а це, відповідно до властивостей ділимості, еквівалентно умові, що a1 ⋅ k ділиться на b1 .
Отже, відповідно до властивостей взаємно простих чисел, оскільки a1 ⋅ k ділиться на b1 і a1 не ділиться на b1 (a1 і b1 є взаємно простими числами), то на b1 має ділитися k. У такому разі, у нас має бути деяке ціле число t, для якого справедливий вираз:
- k = b1 ⋅ t,
а оскільки
- b1 = b / d,
то:
- k = b / d ⋅ t.
Підставивши у вираз
- m = a ⋅ k
замість його виразу виду b / d ⋅ t, приходимо до підсумкової рівності:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Так ми здобули рівність, що задає вигляд усіх загальних кратних чисел a і b. Оскільки a і b за умовою — числа позитивні, то за t = 1 ми отримуємо їх найменше позитивне загальне кратне, яке дорівнює a ⋅ b / d.
Таким чином ми довели, що
- НОК (a, b) = a ⋅ b / НОД (a, b).
Знання основних положень і правил, пов'язаних з НОК допомагає краще розуміти його практичне значення в математиці, а також дозволяє активно застосовувати його як прикладну одиницю в розрахунках, в яких знання величини НОК є обов'язковою умовою.
