En küçük ortak kat (EKOK), bir öğrencinin kesirlerle etkili bir şekilde çalışabilmesi için bilmesi gereken matematiksel bir göstergedir. NOC, ortaokul müfredatının bir parçası olarak incelenir ve materyalin görünürdeki karmaşıklığına rağmen bu konu, çarpım tablosunu bilen ve derecelerle nasıl çalışılacağını bilen bir öğrenci için sorun yaratmaz.
LCM Tanımı
EKOK'yi tanımaya başlamadan önce, onun daha geniş konseptini anlamak gerekir - "ortak kat" teriminin tanımından ve pratik hesaplamalardaki rolünden bahsediyoruz.
Birkaç sayının ortak katı, bu sayıların her birine kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır. Başka bir deyişle, bir tam sayı dizisinin ortak katı, verilen dizideki sayıların her birine bölünebilen herhangi bir tam sayıdır.
Bizim durumumuzda, tamsayıların hiçbiri sıfıra eşit olmayan ortak katlarına odaklanacağız.
"Ortak kat" kavramını uygulayabileceğimiz doğal sayıların sayısına gelince, bir dizide bunlardan iki, üç, dört veya daha fazlası olabilir.
Ortak katların en popüler olanı en küçük ortak kattır - EKOK, serideki tüm sayıların en küçük ortak katının pozitif değeridir.
NOC Örnekleri
En küçük ortak katın tanımından ve matematiksel özünden, birçok sayının her zaman bir EKOK'ye sahip olduğu sonucu çıkar.
En küçük ortak kat için en kısa biçim:
- a1, a2, ..., ak, LCM (a1, a2, ..., ak) biçimindedir.
Ayrıca, bazı kaynaklarda aşağıdaki yazı biçimini bulabilirsiniz:
- a1, a2, ..., ak [a1, a2, ..., ak].
Bir örnek göstermek için iki tam sayının EKOK'sini alalım: 4 ve 5. Ortaya çıkan ifade şuna benzer:
- EKOK(4, 5) = 20.
Şu dört sayı için EKOK'yi alırsak: 3, −9, 5, −15, gösterimi elde ederiz:
- EKOK(3, -9, 5, -15) = 45.
En basit yazım örnekleri bile, bir sayı grubu için en küçük ortak katı bulmanın kolay olmadığını ve onu bulma sürecinin oldukça karmaşık olabileceğini gösteriyor. En küçük ortak kat hesaplanırken aktif olarak kullanılan özel algoritmalar ve teknikler vardır.
LCM ve GCD arasındaki ilişki
Matematiksel hesaplamalarda bilinen, en küçük ortak bölen (bundan sonra OBEB olarak anılacaktır) olarak adlandırılan bir değer, aşağıdaki teorem yoluyla EKOK ile ilişkilendirilir: "a ve b iki pozitif tamsayının en küçük ortak katı (EKOK) şuna eşittir: a ve b sayılarının çarpımı bölü a ve b'nin en büyük ortak bölenine (gcd)".
Bu teoremi matematiksel bir ifade kullanarak aşağıdaki gibi tanımlayabilirsiniz:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Bu teoremin bir kanıtı olarak bazı matematiksel araştırmalar sunuyoruz.
m'nin a ve b'nin belirli bir katı olduğunu varsayalım. Buna göre m, a ile bölünebilir ve bölünebilirlik tanımına göre, eşitliği yazabileceğimiz bir k tam sayısı vardır:
- m = a ⋅ k.
Fakat, m'nin b'ye de bölünebileceğini biliyoruz, yani a ⋅ k, b'ye de bölünebilir.
OBEB (a, b) ifadesini belirtmek için d sembolünü kullanacağız. Böylece şu ifadeleri kullanarak eşitlik yazabiliriz:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Burada:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
burada a1 ve b1 göreli olarak asal sayılardır.
Yukarıda elde edilen a ⋅ k'nin b'ye bölünebilir olması koşulu, aşağıdaki ifadeyi yazmamızı sağlar: a1 ⋅ d ⋅ k, b1 ⋅ d'ye bölünebilir ve bu, bölünebilirlik özelliklerine göre, a1 ⋅ k'nin b1 ile bölünebilir olması koşulu.
Bu nedenle eş asal sayıların özelliklerine göre a1 ⋅ k, b1'e tam bölünebildiğine ve a1, b1'e tam bölünemediğine göre (a1 ve b1 eş asal sayılardır), k, b1'e bölünebilir olmalıdır. Bu durumda, ifadenin doğru olduğu bir t tamsayısına sahip olmamız gerekir:
- k = b1 ⋅ t,
ve beri
- b1 = b / d,
sonra:
- k = b / d ⋅ t.
İfadede ikame etme
- m = a ⋅ k
k yerine ifadesi b / d ⋅ t, nihai eşitliğe ulaşıyoruz:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Böylece, a ve b'nin tüm ortak katlarının biçimini belirten bir eşitlik elde ettik. a ve b, koşula göre pozitif sayılar olduğundan, t = 1 için en küçük pozitif ortak katını alırız, bu da a ⋅ b / d'ye eşittir.
Böylece bunu kanıtladık
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
EKOK ile ilgili temel hükümleri ve kuralları bilmek, matematikteki pratik önemini daha iyi anlamanıza yardımcı olur ve ayrıca LCM değeri bilgisinin ön koşul olduğu hesaplamalarda uygulamalı bir birim olarak aktif bir şekilde kullanmanıza olanak tanır.
