Calculator ng LCM

Ang least common multiple (LCM) ay isang mathematical indicator na kailangang malaman ng isang mag-aaral upang epektibong magtrabaho sa mga fraction. Ang NOC ay pinag-aaralan bilang bahagi ng kurikulum ng sekondaryang paaralan, at, sa kabila ng maliwanag na pagiging kumplikado ng materyal, ang paksang ito ay hindi magdudulot ng mga problema para sa isang mag-aaral na alam ang multiplication table at marunong gumawa ng mga degree.

Kahulugan ng LCM

Bago simulang pamilyar sa LCM, kailangang maunawaan ang mas malawak na konsepto nito - pinag-uusapan natin ang kahulugan ng terminong "common multiple" at ang papel nito sa mga praktikal na kalkulasyon.

Ang karaniwang multiple ng ilang numero ay isang natural na numero na maaaring hatiin sa bawat isa sa mga numerong ito nang walang natitira. Sa madaling salita, ang karaniwang multiple ng isang serye ng mga integer ay anumang integer na nahahati sa bawat isa sa mga numero sa ibinigay na serye.

Sa aming kaso, tututuon kami sa mga karaniwang multiple ng integer, wala sa mga ito ang katumbas ng zero.

Tungkol sa bilang ng mga natural na numero, kung saan maaari nating ilapat ang konsepto ng "common multiple", kung gayon ay maaaring dalawa, tatlo, apat o higit pa sa mga ito sa isang serye.

Ang pinakasikat sa common multiple ay ang least common multiple - ang LCM ay ang positibong value ng pinakamaliit na common multiple ng lahat ng numero sa serye.

Mga Halimbawa ng NOC

Mula sa kahulugan ng least common multiple at ang mathematical essence nito, sumusunod na maraming numero ang palaging may LCM.

Ang pinakamaikling anyo para sa hindi bababa sa karaniwang maramihang ay:

a1, a2, ..., ak ng anyong LCM (a1, a2, ..., ak).

Dagdag pa rito, sa ilang mga mapagkukunan ay makikita mo ang sumusunod na anyo ng pagsulat:

a1, a2, ..., ak ng anyo [a1, a2, ..., ak].

Upang magpakita ng halimbawa, kunin natin ang LCM ng dalawang integer: 4 at 5. Magiging ganito ang magiging resulta ng expression:

LCM(4, 5) = 20.

Kung kukuha tayo ng LCM para sa sumusunod na apat na numero: 3, −9, 5, −15, makukuha natin ang notasyon:

LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Kahit na ang pinakasimpleng mga halimbawa ng pagsulat ay nagpapakita na ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple para sa isang pangkat ng mga numero ay malayo sa madali, at ang proseso ng paghahanap nito ay maaaring maging kumplikado. May mga espesyal na algorithm at diskarte na aktibong ginagamit kapag kinakalkula ang hindi bababa sa karaniwang multiple.

Paano nauugnay ang LCM at GCD

Ang isang value na kilala sa mga kalkulasyon sa matematika, na tinatawag na least common divisor (mula rito ay tinutukoy bilang GCD), ay nauugnay sa LCM sa pamamagitan ng sumusunod na theorem: “the least common multiple (LCM) ng dalawang positive integers a at b ay katumbas ng ang produkto ng mga numerong a at b na hinati ng hanggang sa pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ng a at b."

Maaari mong ilarawan ang theorem na ito gamit ang isang mathematical expression gaya ng sumusunod:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Bilang patunay ng theorem na ito, nagpapakita kami ng ilang mathematical research.

Sabihin natin na ang m ay isang tiyak na multiple ng a at b. Alinsunod dito, ang m ay nahahati ng a, at, sa pamamagitan ng kahulugan ng divisibility, mayroong ilang integer k, kung saan maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay:

m = isang ⋅ k.

Ngunit, alam din natin na ang m ay nahahati din ng b, kaya ang a ⋅ k ay nahahati din ng b.

Gagamitin namin ang simbolo na d upang tukuyin ang expression na GCD (a, b). Para makapagsulat tayo ng pagkakapantay-pantay gamit ang mga expression:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Narito:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

kung saan ang a1 at b1 ay medyo prime number.

Ang kundisyong nakuha sa itaas na ang a ⋅ k ay nahahati ng b ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang sumusunod na expression: a1 ⋅ d ⋅ k ay nahahati ng b1 ⋅ d, at ito, alinsunod sa mga katangian ng divisibility, ay katumbas ng kundisyon na ang a1 ⋅ k ay mahahati ng b1 .

Samakatuwid, ayon sa mga katangian ng mga numerong coprime, dahil ang a1 ⋅ k ay nahahati sa b1, at ang a1 ay hindi nahahati ng b1 (ang a1 at b1 ay mga numerong coprime), kung gayon ang k ay dapat na mahahati ng b1. Sa kasong ito, kailangan nating magkaroon ng ilang integer t kung saan totoo ang expression:

k = b1 ⋅ t,

at mula noong

b1 = b / d,

pagkatapos:

k = b / d ⋅ t.

Papalitan sa expression

m = a ⋅ k

sa halip na k ang ekspresyon nito ay b / d ⋅ t, nakarating tayo sa huling pagkakapantay-pantay:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Kaya nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa anyo ng lahat ng karaniwang multiple ng a at b. Dahil ang a at b ay mga positibong numero ayon sa kundisyon, kung gayon para sa t = 1 makuha natin ang hindi bababa sa positibong common multiple, na katumbas ng a ⋅ b / d.

Kaya, napatunayan namin iyon

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Ang pag-alam sa mga pangunahing probisyon at panuntunang nauugnay sa LCM ay nakakatulong na mas maunawaan ang praktikal na kahalagahan nito sa matematika, at nagbibigay-daan din sa iyong aktibong gamitin ito bilang isang inilapat na yunit sa mga kalkulasyon kung saan ang kaalaman sa halaga ng LCM ay isang paunang kinakailangan.

Paano makahanap ng pinakamaliit sa karaniwang maramihan

Isa sa mga unang tanong na lumabas kapag pinag-aaralan ang least common multiple (LCM): ano ang praktikal na kahulugan nito, at paano ito magiging kapaki-pakinabang sa mga kalkulasyon sa matematika?

Siyempre, sa isang agham tulad ng matematika, walang mga walang kwentang function, bawat isa sa kanila ay kinakailangan para sa pagsasagawa ng anumang partikular na kalkulasyon. Ang NOC ay walang pagbubukod.

Kung saan nalalapat ang LCM

Kadalasan, ang LCM ay ginagamit sa mga kalkulasyon na nangangailangan ng mga fraction na bawasan sa isang karaniwang denominator. Ang aksyon na ito ay matatagpuan sa mga halimbawa at gawain ng karamihan sa mga programa ng paaralan. Bilang panuntunan, ito ay materyal na pang-edukasyon sa loob ng balangkas ng mataas na paaralan.

Sa karagdagan, ang LCM ay maaaring kumilos bilang isang karaniwang divisor para sa lahat ng multiple, kung ang mga kundisyong ito ay naroroon sa problemang ibinigay para sa solusyon.

Sa pagsasagawa, may mga problema kung saan kailangang maghanap ng maramihang hindi lamang ng dalawang numero, kundi pati na rin ng mas malaking bilang ng mga ito - tatlo, lima ... Mas malaki ang bilang ng mga numero sa inisyal kundisyon, mas maraming aksyon ang kailangan nating gawin sa proseso ng paglutas ng problema. Ang magandang balita ay hindi tataas ang pagiging kumplikado ng solusyon sa kasong ito. Ang sukat lamang ng mga kalkulasyon ang magbabago.

Mga paraan ng paghahanap ng LCM

Unang paraan

Bilang halimbawa, kalkulahin natin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 250, 600 at 1500.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

Sa halimbawang ito, nagfactorize kami nang walang pagbabawas.

Susunod, nagsasagawa kami ng mga katulad na pagkilos sa iba pang mga numero:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

Upang bumuo ng isang expression, kinakailangang italaga ang lahat ng mga salik, sa aming kaso ito ay 2, 3, 5 - para sa mga numerong ito, kakailanganin mong matukoy ang pinakamataas na antas.

LCM = 3000.

Dapat tandaan na ang lahat ng multiplier ay dapat dalhin sa kanilang ganap na pagpapasimple. Kung maaari, mabulok sa antas ng hindi malabo.

Susunod, suriin namin:

3000 / 250 = 12 ang tama;
3000 / 600 = 5 ang tama;
3000 / 1500 = 2 ang tama.

Ang bentahe ng pamamaraang ito ng pagkalkula ng LCM ay ang pagiging simple nito - ang naturang pagkalkula ay hindi nangangailangan ng mga espesyal na kasanayan at mataas na kaalaman sa matematika.

Ikalawang paraan

Maraming mathematical na kalkulasyon ang maaaring gawing simple sa pamamagitan ng pagsasamantala sa kakayahang isagawa ang mga ito sa ilang hakbang. Ganoon din sa pagkalkula ng least common multiple.

Ang paraan na titingnan natin sa ibaba ay gumagana para sa parehong mga single-digit at double-digit na mga halimbawa.

Para sa mas simple at mas visual na representasyon ng proseso, kailangan naming gumawa ng table kung saan ilalagay ang mga sumusunod na value:

sa mga column - multiplicand;
sa mga linya — multiplier.

Ang mga cell sa intersection ay maglalaman ng mga halaga ng mga produkto ng multiplicand at multiplier. Para sa mga hindi gustong magtrabaho sa mga talahanayan, mayroong isang mas simpleng paraan ng pagsulat - sa isang linya kung saan ang mga resulta ng aming numero ay nakasulat sa mga integer mula sa isa hanggang sa kawalang-hanggan. Sa ilang mga kaso, ito ay sapat na upang isulat ang 3-5 puntos. Ang natitirang mga numero ay napapailalim sa isang katulad na proseso ng pagkalkula. Isinasagawa ang pagkilos na ito hanggang sa makakita ng common multiple, ang pinakamaliit para sa lahat ng value.

Hanapin ang common multiple ng mga numero 30, 35 at 42:

Maghanap ng multiple ng 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Maghanap ng mga multiple ng 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Maghanap ng multiple ng 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Nakakuha kami ng tatlong row ng mga numero na naiiba sa isa't isa, gayunpaman, sa bawat row ay may parehong numero - 210. Ang numerong ito ang pinakamaliit na common multiple para sa mga ibinigay na numero.

Tiningnan namin ang mga pinakasimpleng paraan upang kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng isang serye ng mga numero. Mayroong iba pang mga espesyal na algorithm, maaari silang magkaroon ng ilang mga pagkakaiba sa proseso ng pagkalkula, habang ang resulta ng pagkalkula ay magiging pareho. Bilang karagdagan, makakahanap ka na ngayon ng malaking bilang ng mga online na calculator sa net na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang least common multiple (LCM) nang walang mahirap na pagkalkula sa sarili.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}