NZS kalkulator

Kalkulator najmanjeg zajedničkog sadržaoca

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) je matematički indikator koji učenik treba da zna da bi efikasno radio sa razlomcima. NOK se izučava kao deo srednjoškolskog programa i, uprkos prividnoj složenosti gradiva, ova tema neće praviti probleme učeniku koji zna tablicu množenja i ume da radi sa stepenima.

LCM definicija

Pre nego što počnemo da se upoznamo sa LCM, neophodno je razumeti njegov širi koncept – govorimo o definiciji pojma „zajednički višestruki“ i njegovoj ulozi u praktičnim proračunima.

Zajednički višekratnik nekoliko brojeva je prirodan broj koji se može podeliti sa svakim od ovih brojeva bez ostatka. Drugim rečima, zajednički višekratnik niza celih brojeva je svaki ceo broj koji je deljiv svakim od brojeva u datom nizu.

U našem slučaju, fokusiraćemo se na zajedničke višekratnike celih brojeva, od kojih nijedan nije jednak nuli.

Što se tiče broja prirodnih brojeva, u odnosu na koje možemo primeniti koncept „zajedničkog višestrukog“, onda ih u nizu mogu biti dva, tri, četiri ili više.

Najpopularniji zajednički višekratnik je najmanji zajednički višekratnik – LCM je pozitivna vrednost najmanjeg zajedničkog višekratnika svih brojeva u nizu.

Primeri NOC

Iz definicije najmanjeg zajedničkog višekratnika i njegove matematičke suštine sledi da nekoliko brojeva uvek ima LCM.

Najkraći oblik za najmanji zajednički višekratnik je:

a1, a2, ..., ak oblika LCM (a1, a2, ..., ak).

Pored toga, u nekim izvorima možete pronaći sledeći oblik pisanja:

a1, a2, ..., ak oblika [a1, a2, ..., ak].

Da bismo demonstrirali primer, uzmimo LCM od dva cela broja: 4 i 5. Dobijeni izraz će izgledati ovako:

LCM(4, 5) = 20.

Ako uzmemo LCM za sledeća četiri broja: 3, −9, 5, −15, dobićemo oznaku:

LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Čak i najjednostavniji primeri pisanja pokazuju da je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika za grupu brojeva daleko od lakog, a proces pronalaženja može biti prilično komplikovan. Postoje posebni algoritmi i tehnike koje se aktivno koriste prilikom izračunavanja najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Kako su LCM i GCD povezani

Vrednost poznata u matematičkim proračunima, nazvana najmanji zajednički delilac (u daljem tekstu GCD), povezana je sa LCM kroz sledeću teoremu: „najmanji zajednički višekratnik (LCM) dva pozitivna cela broja a i b je jednak proizvod brojeva a i b podeljen sa na najveći zajednički delilac (gcd) a i b".

Ovu teoremu možete opisati koristeći matematički izraz na sledeći način:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Kao dokaz ove teoreme predstavljamo neka matematička istraživanja.

Recimo da je m određeni višekratnik a i b. Prema tome, m je deljivo sa a, i, prema definiciji deljivosti, postoji neki ceo broj k, sa kojim možemo da zapišemo jednakost:

m = a ⋅ k.

Ali, takođe znamo da je m takođe deljivo sa b, pa je a ⋅ k takođe deljivo sa b.

Koristićemo simbol d da označimo izraz GCD (a, b). Dakle, možemo napisati jednakost koristeći izraze:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Ovde:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

gde su a1 i b1 relativno prosti brojevi.

Gore dobijen uslov da je a ⋅ k deljivo sa b omogućava nam da zapišemo sledeći izraz: a1 ⋅ d ⋅ k je deljivo sa b1 ⋅ d, a ovo je, u skladu sa svojstvima deljivosti, ekvivalentno uslov da je a1 ⋅ k deljivo sa b1 .

Stoga, prema osobinama koprostih brojeva, pošto je a1 ⋅ k deljivo sa b1, a a1 nije deljivo sa b1 (a1 i b1 su međusobno prosti brojevi), onda k mora biti deljivo sa b1. U ovom slučaju, moramo imati neki ceo broj t za koji je izraz tačan:

k = b1 ⋅ t,

i od

b1 = b / d,

onda:

k = b / d ⋅ t.

Zamena u izraz

m = a ⋅ k

umesto k njegov izraz je b / d ⋅ t, dolazimo do konačne jednakosti:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Tako smo dobili jednakost koja određuje oblik svih zajedničkih višekratnika a i b. Pošto su a i b pozitivni brojevi po uslovu, onda za t = 1 dobijamo njihov najmanji pozitivni zajednički višekratnik, koji je jednak a ⋅ b / d.

Tako smo to dokazali

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Poznavanje osnovnih odredbi i pravila povezanih sa LCM pomaže da se bolje razume njegov praktični značaj u matematici, a takođe vam omogućava da ga aktivno koristite kao primenjenu jedinicu u proračunima u kojima je poznavanje vrednosti LCM preduslov.

Jedno od prvih pitanja koje se nameće prilikom proučavanja najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM): koje je njegovo praktično značenje i kako može biti korisno u matematičkim proračunima?

Naravno, u nauci kao što je matematika ne postoje beskorisne funkcije, svaka od njih je neophodna za obavljanje bilo kakvih specifičnih proračuna. NOC nije izuzetak.

Gde se primenjuje LCM

Najčešće se LCM koristi u proračunima koji zahtevaju da se razlomci svedu na zajednički imenilac. Ova akcija se nalazi u primerima i zadacima većine školskih programa. Po pravilu, ovo je obrazovni materijal u okviru srednje škole.

Pored toga, LCM može da deluje kao zajednički delilac za sve višekratnike, ako su ovi uslovi prisutni u zadatku koji je dat za rešenje.

U praksi postoje zadaci u kojima je potrebno pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja njih – tri, pet... Što je veći broj brojeva u početnoj uslovima, više radnji moramo da izvršimo u procesu rešavanja problema. Dobra vest je da se složenost rešenja u ovom slučaju neće povećati. Samo će se skala proračuna promeniti.

Metode pronalaženja LCM-a

Prvi način

Kao primer, hajde da izračunamo najmanji zajednički umnožak brojeva 250, 600 i 1500.

Počnimo sa razlaganjem brojeva:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

U ovom primeru smo rastavili na faktore bez smanjenja.

Dalje, vršimo slične radnje sa ostalim brojevima:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

Da biste sastavili izraz, potrebno je označiti sve faktore, u našem slučaju to je 2, 3, 5 - za ove brojeve treba da odredite maksimalni stepen.

LCM = 3000.

Treba napomenuti da svi množitelji moraju biti dovedeni do potpunog pojednostavljenja. Ako je moguće, razložite do nivoa nedvosmislenog.

Dalje, proveravamo:

3000/250 = 12 je tačno;
3000/600 = 5 je tačno;
3000/1500 = 2 je tačno.

Prednost ovog metoda izračunavanja LCM-a je njegova jednostavnost – takav proračun ne zahteva posebne veštine i visoko znanje iz matematike.

Drugi način

Mnogi matematički proračuni se mogu pojednostaviti korišćenjem prednosti mogućnosti da se izvrše u nekoliko koraka. Isto važi i za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Metod koji ćemo pogledati u nastavku radi i za jednocifrene i dvocifrene primere.

Za jednostavniji i vizuelniji prikaz procesa, potrebno je da napravimo tabelu u koju će biti unete sledeće vrednosti:

u kolone - množenik;
do redova — množilac.

Ćelije na raskrsnici će sadržati vrednosti proizvoda množenika i množitelja. Za one koji ne vole da rade sa tabelama, postoji jednostavniji oblik pisanja - u liniji u kojoj se rezultati našeg broja upisuju celim brojevima od jedan do beskonačno. U nekim slučajevima dovoljno je zapisati 3-5 poena. Preostali brojevi podležu sličnom procesu izračunavanja. Ova radnja se sprovodi dok se ne pronađe zajednički višekratnik, najmanji za sve vrednosti.

Pronađi zajednički umnožak brojeva 30, 35 i 42:

Pronađi višekratnike od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Pronađi višekratnike od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Pronađi višekratnike 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Dobili smo tri reda brojeva koji se međusobno razlikuju, međutim, u svakom redu je isti broj - 210. Upravo taj broj je najmanji zajednički umnožak za date brojeve.

Razmatrali smo najjednostavnije načine za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika niza brojeva. Postoje i drugi posebni algoritmi, oni mogu imati neke razlike u procesu izračunavanja, dok će rezultat proračuna biti isti. Pored toga, sada možete pronaći veliki broj onlajn kalkulatora na mreži koji vam omogućavaju da pronađete najmanji zajednički umnožak (LCM) bez glomaznog samostalnog izračunavanja.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}