Llogaritësi i KFP

Kalkulatori i shumës së vogël më të përbashkët

Shumëfishi më i vogël i zakonshëm (LCM) është një tregues matematik që një student duhet të dijë në mënyrë që të punojë në mënyrë efektive me thyesat. NOC studiohet si pjesë e kurrikulës së shkollës së mesme dhe, pavarësisht kompleksitetit të dukshëm të materialit, kjo temë nuk do t'i shkaktojë probleme një nxënësi që njeh tabelën e shumëzimit dhe di të punojë me gradë.

Përkufizimi LCM

Para se të filloni të njiheni me LCM, është e nevojshme të kuptoni konceptin e tij më të gjerë - po flasim për përkufizimin e termit "shumës i përbashkët" dhe rolin e tij në llogaritjet praktike.

Një shumëfish i përbashkët i disa numrave është një numër natyror që mund të pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave pa mbetje. Me fjalë të tjera, një shumëfish i përbashkët i një serie numrash të plotë është çdo numër i plotë që është i pjesëtueshëm me secilin nga numrat në serinë e dhënë.

Në rastin tonë, ne do të përqendrohemi në shumëfisha të përbashkët të numrave të plotë, asnjëri prej të cilëve nuk është i barabartë me zero.

Sa i përket numrit të numrave natyrorë, në lidhje me të cilët mund të zbatojmë konceptin e "shumëfishit të përbashkët", atëherë mund të ketë dy, tre, katër ose më shumë prej tyre në një seri.

Më i popullarizuari nga shumëfishat e përbashkët është shumëfishi më i vogël i përbashkët - LCM është vlera pozitive e shumëfishit më të vogël të përbashkët të të gjithë numrave në seri.

Shembuj NOC

Nga përkufizimi i shumëfishit më të vogël të përbashkët dhe thelbi i tij matematikor, rezulton se disa numra kanë gjithmonë një LCM.

Forma më e shkurtër për shumëfishin më të vogël të përbashkët është:

a1, a2, ..., ak të formës LCM (a1, a2, ..., ak).

Përveç kësaj, në disa burime mund të gjeni formën e mëposhtme të shkrimit:

a1, a2, ..., ak të formës [a1, a2, ..., ak].

Për të demonstruar një shembull, le të marrim LCM-në e dy numrave të plotë: 4 dhe 5. Shprehja që rezulton do të duket si kjo:

LCM(4, 5) = 20.

Nëse marrim LCM për katër numrat e mëposhtëm: 3, −9, 5, −15, marrim shënimin:

LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Edhe shembujt më të thjeshtë të shkrimit tregojnë se gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët për një grup numrash nuk është aspak e lehtë dhe procesi i gjetjes së tij mund të jetë mjaft i ndërlikuar. Ekzistojnë algoritme dhe teknika të veçanta që përdoren në mënyrë aktive gjatë llogaritjes së shumëfishit më të vogël të zakonshëm.

Si lidhen LCM dhe GCD

Një vlerë e njohur në llogaritjet matematikore, e quajtur pjesëtuesi më pak i zakonshëm (në tekstin e mëtejmë referuar si GCD), lidhet me LCM përmes teoremës së mëposhtme: "shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i dy numrave të plotë pozitivë a dhe b është i barabartë me prodhimi i numrave a dhe b i pjesëtuar me pjesëtuesin më të madh të përbashkët (gcd) të a dhe b".

Ju mund ta përshkruani këtë teoremë duke përdorur një shprehje matematikore si më poshtë:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Si provë të kësaj teoreme, ne paraqesim disa kërkime matematikore.

Le të themi se m është një shumëfish i caktuar i a dhe b. Prandaj, m është i pjesëtueshëm me a, dhe, sipas përkufizimit të pjesëtueshmërisë, ekziston një numër i plotë k, me të cilin mund të shkruajmë barazinë:

m = a ⋅ k.

Por, ne gjithashtu e dimë se m është gjithashtu i pjesëtueshëm me b, kështu që a ⋅ k është gjithashtu i pjesëtueshëm me b.

Ne do të përdorim simbolin d për të treguar shprehjen GCD (a, b). Pra, ne mund të shkruajmë barazi duke përdorur shprehjet:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Këtu:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

ku a1 dhe b1 janë numra relativisht të thjeshtë.

Kushti i marrë më sipër që a ⋅ k është i pjesëtueshëm me b na lejon të shkruajmë shprehjen e mëposhtme: a1 ⋅ d ⋅ k është i pjesëtueshëm me b1 ⋅ d, dhe kjo, në përputhje me vetitë e pjesëtueshmërisë, është ekuivalente me kusht që a1 ⋅ k të ndahet me b1 .

Prandaj, sipas vetive të numrave të dyfishtë, meqenëse a1 ⋅ k pjesëtohet me b1, dhe a1 nuk pjesëtohet me b1 (a1 dhe b1 janë numra të dyfishtë), atëherë k duhet të plotpjesëtohet me b1. Në këtë rast, duhet të kemi një numër të plotë t për të cilin shprehja është e vërtetë:

k = b1 ⋅ t,

dhe që nga

b1 = b / d,

atëherë:

k = b / d ⋅ t.

Zëvendësimi në shprehje

m = a ⋅ k

në vend të k shprehja e saj është b / d ⋅ t, arrijmë në barazinë përfundimtare:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Pra, ne morëm një barazi që specifikon formën e të gjithë shumëfishave të përbashkët të a dhe b. Meqenëse a dhe b janë numra pozitivë sipas kushtit, atëherë për t = 1 marrim shumëfishin e tyre më pak pozitiv të përbashkët, i cili është i barabartë me a ⋅ b / d.

Kështu, ne e kemi vërtetuar këtë

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Njohja e dispozitave dhe rregullave bazë të lidhura me LCM ndihmon për të kuptuar më mirë rëndësinë e saj praktike në matematikë, dhe gjithashtu ju lejon ta përdorni atë në mënyrë aktive si një njësi të aplikuar në llogaritjet në të cilat njohja e vlerës së LCM është një kusht paraprak.

Si të gjeni shumën më të vogël të përbashkët (LCM)

Një nga pyetjet e para që lind kur studiohet shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM): cili është kuptimi praktik i tij dhe si mund të jetë i dobishëm në llogaritjet matematikore?

Sigurisht, në një shkencë si matematika, nuk ka funksione të padobishme, secila prej tyre është e nevojshme për të kryer ndonjë llogaritje specifike. NOC nuk bën përjashtim.

Ku zbatohet LCM

Më shpesh, LCM përdoret në llogaritjet që kërkojnë që thyesat të reduktohen në një emërues të përbashkët. Ky veprim gjendet në shembujt dhe detyrat e shumicës së programeve shkollore. Si rregull, ky është material edukativ në kuadër të shkollës së mesme.

Përveç kësaj, LCM mund të veprojë si pjesëtues i përbashkët për të gjithë shumëfishat, nëse këto kushte janë të pranishme në problemin e dhënë për zgjidhje.

Në praktikë, ka probleme në të cilat lind nevoja për të gjetur një shumëfish jo vetëm të dy numrave, por edhe të një numri shumë më të madh të tyre - tre, pesë ... Sa më i madh të jetë numri i numrave në fillestar kushte, aq më shumë veprime duhet të kryejmë në procesin e zgjidhjes së problemit. Lajmi i mirë është se kompleksiteti i zgjidhjes nuk do të rritet në këtë rast. Vetëm shkalla e llogaritjeve do të ndryshojë.

Metodat e gjetjes së LCM

Mënyra e parë

Si shembull, le të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 250, 600 dhe 1500.

Le të fillojmë duke faktorizuar numrat:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

Në këtë shembull, ne kemi faktorizuar pa reduktim.

Më pas, kryejmë veprime të ngjashme me numrat e tjerë:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

Për të hartuar një shprehje, është e nevojshme të përcaktohen të gjithë faktorët, në rastin tonë është 2, 3, 5 - për këta numra, do t'ju duhet të përcaktoni shkallën maksimale.

LCM = 3000.

Duhet të theksohet se të gjithë shumëzuesit duhet të sillen në thjeshtimin e tyre të plotë. Nëse është e mundur, zbërthejeni në nivelin e padyshimtë.

Më pas, ne kontrollojmë:

3000 / 250 = 12 është e saktë;
3000 / 600 = 5 është e saktë;
3000 / 1500 = 2 është e saktë.

Përparësia e kësaj metode të llogaritjes së LCM është thjeshtësia e saj - një llogaritje e tillë nuk kërkon aftësi të veçanta dhe njohuri të larta në matematikë.

Metoda e dytë

Shumë llogaritje matematikore mund të thjeshtohen duke përfituar nga aftësia për t'i kryer ato në disa hapa. E njëjta gjë vlen edhe për llogaritjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët.

Metoda që do të shikojmë më poshtë funksionon si për shembujt njëshifror ashtu edhe për shembujt dyshifrorë.

Për një paraqitje më të thjeshtë dhe vizuale të procesit, duhet të krijojmë një tabelë në të cilën do të futen vlerat e mëposhtme:

në kolona - shumëzues;
në rreshta — shumëzues.

Qelizat në kryqëzim do të përmbajnë vlerat e produkteve të shumëzuesit dhe shumëzuesit. Për ata që nuk u pëlqen të punojnë me tabela, ekziston një formë më e thjeshtë shkrimi - në një rresht në të cilin rezultatet e numrit tonë shkruhen në numra të plotë nga një deri në pafundësi. Në disa raste, mjafton të shkruani 3-5 pikë. Numrat e mbetur i nënshtrohen një procesi të ngjashëm llogaritjeje. Ky veprim kryhet derisa të gjendet një shumëfish i përbashkët, më i vogli për të gjitha vlerat.

Gjeni shumëfishin e përbashkët të numrave 30, 35 dhe 42:

Gjeni shumëfishat e 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Gjeni shumëfishat e 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Gjeni shumëfishat e 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Kemi marrë tre rreshta numrash që ndryshojnë nga njëri-tjetri, megjithatë, në çdo rresht ka të njëjtin numër - 210. Është ky numër që është shumëfishi më i vogël i zakonshëm për numrat e dhënë.

Shikuam mënyrat më të thjeshta për të llogaritur shumëfishin më të vogël të përbashkët të një serie numrash. Ka algoritme të tjera speciale, ato mund të kenë disa ndryshime në procesin e llogaritjes, ndërsa rezultati i llogaritjes do të jetë i njëjtë. Përveç kësaj, tani mund të gjeni një numër të madh kalkulatorësh në internet në rrjet që ju lejojnë të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) pa një vetë-llogaritje të rëndë.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}