Najmanjši skupni večkratnik (LCM) je matematični indikator, ki ga mora učenec poznati, da lahko učinkovito dela z ulomki. NOC se preučuje kot del srednješolskega učnega načrta in kljub navidezni zapletenosti gradiva ta tema ne bo povzročala težav študentu, ki pozna tabelo množenja in ve, kako delati z diplomami.
Opredelitev LCM
Preden se začnemo seznanjati z LCM, je treba razumeti njegov širši koncept - govorimo o definiciji pojma "skupni večkratnik" in njegovi vlogi v praktičnih izračunih.
Skupni večkratnik več števil je naravno število, ki ga je mogoče deliti z vsakim od teh števil brez ostanka. Z drugimi besedami, skupni večkratnik niza celih števil je vsako celo število, ki je deljivo z vsakim številom v danem nizu.
V našem primeru se bomo osredotočili na pogoste večkratnike celih števil, od katerih nobeno ni enako nič.
Kar zadeva število naravnih števil, v zvezi s katerimi lahko uporabimo koncept »skupnega večkratnika«, potem sta lahko v nizu dva, tri, štiri ali več.
Najbolj priljubljen skupni večkratnik je najmanjši skupni večkratnik – LCM je pozitivna vrednost najmanjšega skupnega večkratnika vseh števil v nizu.
Primeri NOC
Iz definicije najmanjšega skupnega večkratnika in njegovega matematičnega bistva sledi, da ima več števil vedno LCM.
Najkrajša oblika za najmanjši skupni večkratnik je:
- a1, a2, ..., ak oblike LCM (a1, a2, ..., ak).
Poleg tega lahko v nekaterih virih najdete naslednjo obliko pisanja:
- a1, a2, ..., ak v obliki [a1, a2, ..., ak].
Za predstavitev primera vzemimo LCM dveh celih števil: 4 in 5. Dobljeni izraz bo videti takole:
- LCM(4, 5) = 20.
Če vzamemo LCM za naslednja štiri števila: 3, −9, 5, −15, dobimo zapis:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Tudi najpreprostejši pisni primeri kažejo, da iskanje najmanjšega skupnega večkratnika za skupino števil še zdaleč ni enostavno, postopek iskanja pa je lahko precej zapleten. Obstajajo posebni algoritmi in tehnike, ki se aktivno uporabljajo pri izračunu najmanjšega skupnega večkratnika.
Kako sta LCM in GCD povezana
Vrednost, znana v matematičnih izračunih, imenovana najmanjši skupni delitelj (v nadaljevanju GCD), je povezana z LCM prek naslednjega izreka: »najmanjši skupni večkratnik (LCM) dveh pozitivnih celih števil a in b je enak zmnožek števil a in b, deljen z največjim skupnim deliteljem (gcd) a in b".
Ta izrek lahko opišete z naslednjim matematičnim izrazom:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Kot dokaz tega izreka predstavljamo nekaj matematičnih raziskav.
Recimo, da je m določen večkratnik a in b. Skladno s tem je m deljiv z a in po definiciji deljivosti obstaja neko celo število k, s katerim lahko zapišemo enakost:
- m = a ⋅ k.
Vemo pa tudi, da je m deljiv tudi z b, torej je a ⋅ k prav tako deljiv z b.
Za označevanje izraza GCD (a, b) bomo uporabili simbol d. Torej lahko enakost zapišemo z izrazi:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Tukaj:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
kjer sta a1 in b1 relativno praštevili.
Zgoraj dobljeni pogoj, da je a ⋅ k deljiv z b, nam omogoča, da zapišemo naslednji izraz: a1 ⋅ d ⋅ k je deljiv z b1 ⋅ d, kar je v skladu z lastnostmi deljivosti enakovredno pogoj, da je a1 ⋅ k deljiv z b1 .
Zato glede na lastnosti soprostih števil, ker je a1 ⋅ k deljivo z b1 in a1 ni deljivo z b1 (a1 in b1 sta soprosti števili), potem mora biti k deljivo z b1. V tem primeru moramo imeti neko celo število t, za katerega velja izraz:
- k = b1 ⋅ t,
in od
- b1 = b / d,
potem:
- k = b / d ⋅ t.
Zamenjava v izraz
- m = a ⋅ k
namesto k je njegov izraz b / d ⋅ t, pridemo do končne enakosti:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Torej imamo enakost, ki določa obliko vseh skupnih mnogokratnikov a in b. Ker sta a in b po pogoju pozitivni števili, dobimo za t = 1 njun najmanjši pozitivni skupni večkratnik, ki je enak a ⋅ b / d.
To smo dokazali
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Poznavanje osnovnih določb in pravil, povezanih z LCM, pomaga bolje razumeti njegov praktični pomen v matematiki in vam omogoča tudi aktivno uporabo kot uporabno enoto v izračunih, pri katerih je poznavanje vrednosti LCM predpogoj.
