Najmenší spoločný násobok (LCM) je matematický ukazovateľ, ktorý študent potrebuje poznať, aby mohol efektívne pracovať so zlomkami. NOC sa študuje ako súčasť stredoškolského učiva a napriek zjavnej zložitosti látky nebude táto téma spôsobovať problémy študentovi, ktorý pozná násobilku a vie pracovať s titulmi.
Definícia LCM
Predtým, než sa začneme oboznamovať s LCM, je potrebné pochopiť jeho širší koncept – hovoríme o definícii pojmu „spoločný násobok“ a jeho úlohe v praktických výpočtoch.
Spoločný násobok niekoľkých čísel je prirodzené číslo, ktoré možno deliť každým z týchto čísel bezo zvyšku. Inými slovami, spoločný násobok radu celých čísel je akékoľvek celé číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel v danom rade.
V našom prípade sa zameriame na spoločné násobky celých čísel, z ktorých žiadne sa nerovná nule.
Pokiaľ ide o počet prirodzených čísel, vo vzťahu ku ktorým môžeme použiť pojem "spoločný násobok", potom ich v rade môžu byť dve, tri, štyri alebo viac.
Najobľúbenejším zo spoločných násobkov je najmenší spoločný násobok – LCM je kladná hodnota najmenšieho spoločného násobku všetkých čísel v rade.
Príklady NOC
Z definície najmenšieho spoločného násobku a jeho matematickej podstaty vyplýva, že niekoľko čísel má vždy LCM.
Najkratšia forma pre najmenší spoločný násobok je:
- a1, a2, ..., ak v tvare LCM (a1, a2, ..., ak).
Okrem toho v niektorých zdrojoch môžete nájsť nasledujúcu formu písania:
- a1, a2, ..., ak v tvare [a1, a2, ..., ak].
Aby sme demonštrovali príklad, zoberme si LCM dvoch celých čísel: 4 a 5. Výsledný výraz bude vyzerať takto:
- LCM(4, 5) = 20.
Ak vezmeme LCM pre nasledujúce štyri čísla: 3, −9, 5, −15, dostaneme zápis:
- LCM(3; −9; 5; −15) = 45.
Aj tie najjednoduchšie príklady písania ukazujú, že nájsť najmenší spoločný násobok pre skupinu čísel nie je ani zďaleka jednoduché a proces jeho hľadania môže byť dosť komplikovaný. Existujú špeciálne algoritmy a techniky, ktoré sa aktívne používajú pri výpočte najmenšieho spoločného násobku.
Ako súvisia LCM a GCD
Hodnota známa v matematických výpočtoch, nazývaná najmenší spoločný deliteľ (ďalej len GCD), je spojená s LCM prostredníctvom nasledujúcej vety: „najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch kladných celých čísel aab sa rovná súčin čísel a a b delený najväčším spoločným deliteľom (gcd) čísel a a b."
Túto vetu môžete opísať pomocou matematického výrazu takto:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Ako dôkaz tejto vety uvádzame niekoľko matematických výskumov.
Povedzme, že m je určitý násobok a a b. Podľa toho je m deliteľné a a podľa definície deliteľnosti existuje nejaké celé číslo k, s ktorým môžeme napísať rovnosť:
- m = a ⋅ k.
Vieme však aj to, že m je tiež deliteľné b, takže a ⋅ k je deliteľné aj b.
Na označenie výrazu GCD (a, b) použijeme symbol d. Rovnosť teda môžeme napísať pomocou výrazov:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Tu:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
kde a1 a b1 sú relatívne prvočísla.
Vyššie získaná podmienka, že a ⋅ k je deliteľné b, nám umožňuje napísať nasledujúci výraz: a1 ⋅ d ⋅ k je deliteľné b1 ⋅ d, čo je v súlade s vlastnosťami deliteľnosti ekvivalentné podmienka, že a1 ⋅ k je deliteľné b1 .
Preto podľa vlastností prvočísel, keďže a1 ⋅ k je deliteľné b1 a a1 nie je deliteľné b1 (a1 a b1 sú prvočísla), potom k musí byť deliteľné b1. V tomto prípade musíme mať nejaké celé číslo t, pre ktoré je výraz pravdivý:
- k = b1 ⋅ t,
a odvtedy
- b1 = b / d,
potom:
- k = b / d ⋅ t.
Nahradenie vo výraze
- m = a ⋅ k
namiesto k je jeho výraz b / d ⋅ t, dostávame sa ku konečnej rovnosti:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Takže máme rovnosť, ktorá určuje tvar všetkých spoločných násobkov a a b. Keďže a a b sú kladné čísla podľa podmienky, potom pre t = 1 dostaneme ich najmenší kladný spoločný násobok, ktorý sa rovná a ⋅ b / d.
Takže sme to dokázali
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Znalosť základných ustanovení a pravidiel spojených s LCM pomáha lepšie pochopiť jej praktický význam v matematike a tiež vám umožňuje aktívne ju používať ako aplikovanú jednotku vo výpočtoch, pri ktorých je znalosť hodnoty LCM podmienkou.
