Для того чтобы с лёгкостью решать базовые задачи по математике, необходимо усвоить ряд определений и правил, и руководствоваться ими в последующем процессе решения.
Рассмотрим одно из важных определений — наименьшее общее кратное (НОК). Это один из математических показателей, который необходимо знать школьнику для эффективной работы с дробями. НОК изучают в рамках учебных программ средней школы, и, несмотря на кажущуюся сложность материала, данная тема не доставит проблем обучающемуся, который знает таблицу умножения и умеет работать со степенями.
Важным моментом при изучении НОК и методов его вычисления является практическая отработка вопросов на конкретных числовых примерах.
Определение НОК
Прежде чем приступить к знакомству с НОК, необходимо разобраться с его более широким понятием — речь идёт об определении термина «общее кратное» и его ролью в практических расчётах.
Общим кратным для нескольких чисел является натуральное число, которое может делиться на каждое из этих чисел без остатка. Другими словами, общим кратным ряда целых чисел называется любое целое число, делимое на каждое из чисел данного ряда.
В нашем случае мы остановимся на общих кратных целых чисел, ни одно из которых не равняется нулю.
Что касается количества натуральных чисел, в отношении которых мы можем применять понятие «общее кратное», то таких в ряду может быть два, три, четыре и более.
Наиболее популярным из общих кратных является наименьшее общее кратное — НОК.
Исходя из самого названия, становится понятно, что наименьшее общее кратное для ряда чисел — это положительное значение наименьшего значения общего кратного для всех чисел ряда.
Примеры записи НОК
Из определения наименьшего общего кратного и его математической сущности следует, что несколько чисел всегда имеют НОК.
Для краткой записи наименьшего общего кратного используется следующая форма:
- a1, a2, ..., ak вида НОК (a1, a2, ..., ak).
Кроме того, в некоторых источниках вы можете встретить следующую форму записи:
- a1, a2, ..., ak вида [a1, a2, ..., ak].
Для демонстрации примера, возьмём НОК двух целых чисел: 4 и 5. Запись полученного выражения будет выглядеть так:
- НОК (4, 5) = 20.
Если мы возьмём НОК для следующих четырёх чисел: 3, −9, 5, −15, то получим запись:
- НОК (3, −9, 5, −15) = 45.
Даже самые простейшие примеры записи показывают, что найти наименьшее общее кратное для группы чисел получается далеко не сразу, и сам процесс его поиска может быть довольно сложном. Существуют специальные алгоритмы и методики, которыми активно пользуются при расчёте наименьшего общего кратного.
Как связаны НОК и НОД
Известную в математических расчётах величину, называемую наименьшим общим делителем (далее по тексту — НОД), связывают с НОК посредством следующей теоремы: «наименьшее общее кратное (НОК) двух положительных целых чисел a и b равняется произведению чисел a и b, поделённому на наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b».
Описать данную теорему с помощью математического выражения можно следующим образом:
- НОК (a, b) = a × b / НОД (a, b).
В качестве доказательства данной теоремы, приведём некоторые математические изыскания.
Допустим, m — это определённое кратное чисел a и b. Соответственно, m делится на a, и, по определению делимости, есть некоторое целое число k, с помощью которого можем записать равенство:
- m = a × k.
Но, мы также знаем, что m делится ещё и на b, следовательно, a × k также делится на b.
Для обозначения выражения НОД (a, b) будем использовать символ d. Значит, равенство мы можем написать с помощью выражений:
- a = a1 × d,
- b = b1 × d.
Здесь:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
где a1 и b1 — взаимно простые числа.
Полученное выше условие, что a × k делится на b, позволяет нам записать следующее выражение: a1 × d × k делится на b1 × d, а это, в соответствии со свойствами делимости эквивалентно условию, что a1 × k делится на b1.
Следовательно, в соответствии со свойствами взаимно простых чисел, так как a1 × k делится на b1, и a1 не делится на b1 (a1 и b1 являются взаимно простыми числами), то на b1 должно делиться k. В таком случае, у нас должно быть некоторое целое число t, для которого справедливо выражение:
- k = b1 × t,
а так как
- b1 = b / d,
то:
- k = b / d × t.
Подставив в выражение
- m = a × k
вместо k его выражение вида b / d × t, приходим к итоговому равенству:
- m = a × b / d × t.
Так мы получили равенство, задающее вид всех общих кратных чисел a и b. Так как a и b по условию — числа положительные, то при t = 1 мы получаем их наименьшее положительное общее кратное, которое равно a × b / d.
Таким образом мы доказали, что
- НОК (a, b) = a × b / НОД (a, b).
Знание основных положений и правил, связанных с НОК помогает лучше понимать его практическое значение в математике, а также позволяет активно применять его в качестве прикладной единицы в расчётах, в которых знание величины НОК — обязательное условие.
