Cel mai mic multiplu comun (LCM) este un indicator matematic pe care un elev trebuie să-l cunoască pentru a lucra eficient cu fracțiile. NOC este studiat ca parte a curriculum-ului liceului și, în ciuda complexității aparente a materialului, acest subiect nu va pune probleme unui elev care cunoaște tabla înmulțirii și știe să lucreze cu grade.
Definiția LCM
Înainte de a începe să vă familiarizați cu LCM, este necesar să înțelegeți conceptul său mai larg - vorbim despre definiția termenului „multiplu comun” și rolul său în calculele practice.
Un multiplu comun al mai multor numere este un număr natural care poate fi împărțit la fiecare dintre aceste numere fără rest. Cu alte cuvinte, un multiplu comun al unei serii de numere întregi este orice număr întreg care este divizibil cu fiecare dintre numerele din seria dată.
În cazul nostru, ne vom concentra pe multipli comuni ai numerelor întregi, dintre care niciunul nu este egal cu zero.
În ceea ce privește numărul de numere naturale, în raport cu care putem aplica conceptul de „multiplu comun”, atunci pot fi două, trei, patru sau mai multe dintre ele într-o serie.
Cel mai popular dintre multiplii comuni este cel mai mic multiplu comun - LCM este valoarea pozitivă a celui mai mic multiplu comun dintre toate numerele din serie.
Exemple NOC
Din definiția celui mai mic multiplu comun și esența sa matematică, rezultă că mai multe numere au întotdeauna un LCM.
Cea mai scurtă formă pentru cel mai mic multiplu comun este:
- a1, a2, ..., ak de forma LCM (a1, a2, ..., ak).
În plus, în unele surse puteți găsi următoarea formă de scriere:
- a1, a2, ..., ak de forma [a1, a2, ..., ak].
Pentru a demonstra un exemplu, să luăm LCM a două numere întregi: 4 și 5. Expresia rezultată va arăta astfel:
- LCM(4, 5) = 20.
Dacă luăm LCM pentru următoarele patru numere: 3, −9, 5, −15, obținem notația:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Chiar și cele mai simple exemple de scriere arată că găsirea celui mai mic multiplu comun pentru un grup de numere este departe de a fi ușor, iar procesul de găsire a acestuia poate fi destul de complicat. Există algoritmi și tehnici speciali care sunt utilizați în mod activ atunci când se calculează cel mai mic multiplu comun.
Cum sunt legate LCM și GCD
O valoare cunoscută în calculele matematice, numită cel mai mic divizor comun (denumit în continuare MCD), este asociată cu LCM prin următoarea teoremă: „cel mai mic multiplu comun (LCM) a două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul numerelor a și b împărțit la cel mai mare divizor comun (mcd) al lui a și b".
Puteți descrie această teoremă folosind o expresie matematică după cum urmează:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Ca o dovadă a acestei teoreme, prezentăm câteva cercetări matematice.
Să presupunem că m este un anumit multiplu al lui a și b. În consecință, m este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k, cu care putem scrie egalitatea:
- m = a ⋅ k.
Dar, știm și că m este divizibil cu b, deci a ⋅ k este și divizibil cu b.
Vom folosi simbolul d pentru a desemna expresia GCD (a, b). Deci putem scrie egalitate folosind expresii:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Aici:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
unde a1 și b1 sunt numere prime relativ.
Condiția obținută mai sus că a ⋅ k este divizibil cu b ne permite să scriem următoarea expresie: a1 ⋅ d ⋅ k este divizibil cu b1 ⋅ d, iar aceasta, în conformitate cu proprietățile divizibilității, este echivalentă cu condiția ca a1 ⋅ k să fie divizibil cu b1 .
De aceea, conform proprietăților numerelor coprime, întrucât a1 ⋅ k este divizibil cu b1 și a1 nu este divizibil cu b1 (a1 și b1 sunt numere coprime), atunci k trebuie să fie divizibil cu b1. În acest caz, trebuie să avem un număr întreg t pentru care expresia este adevărată:
- k = b1 ⋅ t,
și de când
- b1 = b / d,
apoi:
- k = b / d ⋅ t.
Înlocuirea în expresie
- m = a ⋅ k
în loc de k, expresia sa este b / d ⋅ t, ajungem la egalitatea finală:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Deci am obținut o egalitate care specifică forma tuturor multiplilor comuni ai a și b. Deoarece a și b sunt numere pozitive prin condiție, atunci pentru t = 1 obținem cel mai mic multiplu comun pozitiv al lor, care este egal cu a ⋅ b / d.
Astfel, am dovedit că
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Cunoașterea prevederilor și regulilor de bază asociate cu LCM ajută la înțelegerea mai bună a semnificației sale practice în matematică și, de asemenea, vă permite să o utilizați în mod activ ca unitate aplicată în calcule în care cunoașterea valorii LCM este o condiție prealabilă.
