Calculadora de MMC

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Calculadora de MDC

Calculadora de mínimo múltiplo comum

O mínimo múltiplo comum (LCM) é um indicador matemático que um aluno precisa saber para trabalhar efetivamente com frações. O NOC é estudado como parte do currículo do ensino médio e, apesar da aparente complexidade do material, esse tópico não trará problemas para um aluno que conhece a tabuada e sabe trabalhar com graus.

Definição de LCM

Antes de começar a se familiarizar com o LCM, é necessário entender seu conceito mais amplo - estamos falando sobre a definição do termo "múltiplo comum" e seu papel nos cálculos práticos.

Um múltiplo comum de vários números é um número natural que pode ser dividido por cada um desses números sem deixar resto. Em outras palavras, um múltiplo comum de uma série de números inteiros é qualquer número inteiro divisível por cada um dos números da série dada.

No nosso caso, vamos nos concentrar em múltiplos comuns de números inteiros, nenhum dos quais é igual a zero.

Quanto ao número de números naturais, em relação ao qual podemos aplicar o conceito de "múltiplo comum", então pode haver dois, três, quatro ou mais deles em uma série.

O mais popular dos múltiplos comuns é o mínimo múltiplo comum - o MMC é o valor positivo do menor múltiplo comum de todos os números da série.

Exemplos de NOC

Da definição do mínimo múltiplo comum e sua essência matemática, segue-se que vários números sempre têm um MMC.

A forma mais curta para o mínimo múltiplo comum é:

a1, a2, ..., ak na forma LCM (a1, a2, ..., ak).

Além disso, em algumas fontes você pode encontrar a seguinte forma de escrita:

a1, a2, ..., ak da forma [a1, a2, ..., ak].

Para demonstrar um exemplo, vamos pegar o LCM de dois números inteiros: 4 e 5. A expressão resultante ficará assim:

LCM(4, 5) = 20.

Se tomarmos o MMC para os quatro números a seguir: 3, −9, 5, −15, obtemos a notação:

LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Mesmo os exemplos de escrita mais simples mostram que encontrar o mínimo múltiplo comum para um grupo de números está longe de ser fácil, e o processo de encontrá-lo pode ser bastante complicado. Existem algoritmos e técnicas especiais que são usados ativamente ao calcular o mínimo múltiplo comum.

Como LCM e GCD estão relacionados

Um valor conhecido em cálculos matemáticos, chamado de mínimo divisor comum (doravante referido como MDC), é associado ao LCM através do seguinte teorema: “o mínimo múltiplo comum (MCM) de dois inteiros positivos a e b é igual a o produto dos números a e b dividido pelo máximo divisor comum (mdc) de a e b".

Você pode descrever este teorema usando uma expressão matemática da seguinte forma:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Como prova deste teorema, apresentamos algumas pesquisas matemáticas.

Digamos que m é um certo múltiplo de a e b. Assim, m é divisível por a, e, pela definição de divisibilidade, existe algum inteiro k, com o qual podemos escrever a igualdade:

m = a ⋅ k.

Mas também sabemos que m também é divisível por b, então a ⋅ k também é divisível por b.

Usaremos o símbolo d para denotar a expressão MDC (a, b). Então podemos escrever igualdade usando expressões:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Aqui:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

onde a1 e b1 são números relativamente primos.

A condição obtida acima de que a ⋅ k é divisível por b nos permite escrever a seguinte expressão: a1 ⋅ d ⋅ k é divisível por b1 ⋅ d, e isso, de acordo com as propriedades de divisibilidade, é equivalente ao condição de que a1 ⋅ k é divisível por b1 .

Portanto, de acordo com as propriedades dos números coprimos, uma vez que a1 ⋅ k é divisível por b1 e a1 não é divisível por b1 (a1 e b1 são números coprimos), então k deve ser divisível por b1. Nesse caso, devemos ter algum inteiro t para o qual a expressão seja verdadeira:

k = b1 ⋅ t,

e desde

b1 = b / d,

então:

k = b / d ⋅ t.

Substituindo na expressão

m = a ⋅ k

em vez de k sua expressão é b / d ⋅ t, chegamos à igualdade final:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Portanto, obtivemos uma igualdade que especifica a forma de todos os múltiplos comuns de a e b. Como a e b são números positivos pela condição, para t = 1, obtemos seu mínimo múltiplo comum positivo, que é igual a a ⋅ b / d.

Assim, provamos que

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Conhecer as disposições e regras básicas associadas ao LCM ajuda a entender melhor seu significado prático em matemática e também permite que você o use ativamente como uma unidade aplicada em cálculos nos quais o conhecimento do valor do LCM é um pré-requisito.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum

Uma das primeiras questões que surgem ao estudar o mínimo múltiplo comum (MCM): qual é o seu significado prático e como pode ser útil em cálculos matemáticos?

Claro, em uma ciência como a matemática, não existem funções inúteis, cada uma delas é necessária para a realização de cálculos específicos. NOC não é exceção.

Onde LCM se aplica

Na maioria das vezes, o LCM é usado em cálculos que exigem que as frações sejam reduzidas a um denominador comum. Esta ação é encontrada em exemplos e tarefas da maioria dos programas escolares. Via de regra, trata-se de material didático no âmbito do ensino médio.

Além disso, o LCM pode atuar como um divisor comum para todos os múltiplos, se essas condições estiverem presentes no problema proposto para solução.

Na prática, existem problemas em que é necessário encontrar um múltiplo não apenas de dois números, mas também de um número muito maior deles - três, cinco ... Quanto maior o número de números na inicial condições, mais ações teremos que realizar no processo de resolução do problema. A boa notícia é que a complexidade da solução não aumentará neste caso. Apenas a escala de cálculos mudará.

Métodos para encontrar o LCM

Primeiro caminho

Como exemplo, vamos calcular o mínimo múltiplo comum dos números 250, 600 e 1500.

Vamos começar fatorando os números:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

Neste exemplo, fatoramos sem redução.

Em seguida, realizamos ações semelhantes com o restante dos números:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

Para compor uma expressão, é necessário designar todos os fatores, no nosso caso são 2, 3, 5 - para esses números, você precisará determinar o grau máximo.

LCM = 3000.

Deve-se notar que todos os multiplicadores devem ser levados à sua simplificação total. Se possível, decomponha ao nível de inequívoco.

Em seguida, verificamos:

3000 / 250 = 12 está correto;
3000 / 600 = 5 está correto;
3000 / 1500 = 2 está correto.

A vantagem deste método de cálculo do LCM é a sua simplicidade - tal cálculo não requer habilidades especiais e alto conhecimento em matemática.

Segundo método

Muitos cálculos matemáticos podem ser simplificados aproveitando a capacidade de realizá-los em várias etapas. O mesmo vale para calcular o mínimo múltiplo comum.

O método que veremos a seguir funciona tanto para exemplos de um dígito quanto para dois dígitos.

Para uma representação mais simples e visual do processo, precisamos criar uma tabela na qual serão inseridos os seguintes valores:

para colunas - multiplicando;
para linhas — multiplicador.

As células na interseção conterão os valores dos produtos do multiplicando e do multiplicador. Para quem não gosta de trabalhar com tabelas, existe uma forma de escrita mais simples - em uma linha em que os resultados do nosso número são escritos para números inteiros de um ao infinito. Em alguns casos, basta anotar de 3 a 5 pontos. Os restantes números estão sujeitos a um processo de cálculo semelhante. Esta ação é realizada até que um múltiplo comum seja encontrado, o menor para todos os valores.

Encontre o múltiplo comum dos números 30, 35 e 42:

Encontre múltiplos de 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Encontre múltiplos de 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Encontre múltiplos de 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Temos três linhas de números que diferem entre si, no entanto, em cada linha há o mesmo número - 210. É esse número que é o mínimo múltiplo comum para os números fornecidos.

Examinamos as formas mais simples de calcular o mínimo múltiplo comum de uma série de números. Existem outros algoritmos especiais, eles podem ter algumas diferenças no processo de cálculo, enquanto o resultado do cálculo será o mesmo. Além disso, agora você pode encontrar um grande número de calculadoras on-line na rede que permitem encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM) sem um auto-cálculo complicado.