Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) to wskaźnik matematyczny, który uczeń musi znać, aby efektywnie pracować z ułamkami zwykłymi. NOC jest nauczany w ramach programu nauczania w szkole średniej i pomimo pozornej złożoności materiału, temat ten nie sprawi problemów uczniowi, który zna tabliczkę mnożenia i wie, jak pracować ze stopniami.
Definicja LCM
Zanim zaczniesz zapoznawać się z LCM, konieczne jest zrozumienie jego szerszego pojęcia - mówimy o definicji terminu "wspólna wielokrotność" i jego roli w praktycznych obliczeniach.
Wspólna wielokrotność kilku liczb to liczba naturalna, którą można podzielić przez każdą z tych liczb bez reszty. Innymi słowy, wspólna wielokrotność szeregu liczb całkowitych to dowolna liczba całkowita, która jest podzielna przez każdą liczbę w danym szeregu.
W naszym przypadku skupimy się na wspólnych wielokrotnościach liczb całkowitych, z których żadna nie jest równa zeru.
Jeśli chodzi o liczbę liczb naturalnych, w stosunku do których możemy zastosować pojęcie „wspólnej wielokrotności”, to w ciągu mogą być ich dwie, trzy, cztery lub więcej.
Najpopularniejszą wspólną wielokrotnością jest najmniejsza wspólna wielokrotność — LCM to dodatnia wartość najmniejszej wspólnej wielokrotności wszystkich liczb w szeregu.
Przykłady NOC
Z definicji najmniejszej wspólnej wielokrotności i jej matematycznej istoty wynika, że kilka liczb zawsze ma LCM.
Najkrótsza forma najmniejszej wspólnej wielokrotności to:
- a1, a2, ..., ak postaci LCM (a1, a2, ..., ak).
Ponadto w niektórych źródłach można znaleźć następującą formę zapisu:
- a1, a2, ..., ak postaci [a1, a2, ..., ak].
Aby zademonstrować przykład, weźmy LCM dwóch liczb całkowitych: 4 i 5. Wynikowe wyrażenie będzie wyglądać następująco:
- LCM(4, 5) = 20.
Jeśli weźmiemy LCM dla następujących czterech liczb: 3, −9, 5, −15, otrzymamy zapis:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Nawet najprostsze przykłady zapisu pokazują, że znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności dla grupy liczb wcale nie jest łatwe, a proces jej znajdowania może być dość skomplikowany. Istnieją specjalne algorytmy i techniki, które są aktywnie wykorzystywane przy obliczaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Jak powiązane są LCM i GCD
Wartość znana w obliczeniach matematycznych, zwana najmniejszym wspólnym dzielnikiem (dalej zwana NWD), jest powiązana z LCM za pomocą następującego twierdzenia: „najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczyn liczb a i b podzielonych przez do największego wspólnego dzielnika (gcd) a i b”.
Możesz opisać to twierdzenie za pomocą wyrażenia matematycznego w następujący sposób:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / NWD (a, b).
Jako dowód tego twierdzenia przedstawiamy kilka badań matematycznych.
Powiedzmy, że m jest pewną wielokrotnością a i b. W związku z tym m jest podzielne przez a, a zgodnie z definicją podzielności istnieje pewna liczba całkowita k, za pomocą której możemy zapisać równość:
- m = za ⋅ k.
Ale wiemy również, że m jest również podzielne przez b, więc a ⋅ k jest również podzielne przez b.
Użyjemy symbolu d do oznaczenia wyrażenia NWD (a, b). Możemy więc zapisać równość za pomocą wyrażeń:
- a = a1 ⋅ re,
- b = b1 ⋅ re.
Tutaj:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
gdzie a1 i b1 są względnie pierwszymi liczbami.
Otrzymany powyżej warunek, że a ⋅ k jest podzielne przez b, pozwala zapisać następujące wyrażenie: a1 ⋅ d ⋅ k jest podzielne przez b1 ⋅ d, a to, zgodnie z własnościami podzielności, jest równoważne warunek, że a1 ⋅ k jest podzielne przez b1 .
Dlatego, zgodnie z własnościami liczb względnie pierwszych, skoro a1 ⋅ k jest podzielne przez b1, a a1 nie jest podzielne przez b1 (a1 i b1 są liczbami względnie pierwszymi), to k musi być podzielne przez b1. W tym przypadku musimy mieć pewną liczbę całkowitą t, dla której wyrażenie jest prawdziwe:
- k = b1 ⋅ t,
i od
- b1 = b / d,
następnie:
- k = b / re ⋅ t.
Podstawianie do wyrażenia
- m = za ⋅ k
zamiast k jego wyrażeniem jest b / d ⋅ t, dochodzimy do ostatecznej równości:
- m = za ⋅ b / re ⋅ t.
Otrzymaliśmy więc równość, która określa postać wszystkich wspólnych wielokrotności a i b. Ponieważ aib są liczbami dodatnimi na podstawie warunku, to dla t = 1 otrzymujemy ich najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotność, która jest równa a ⋅ b / d.
W ten sposób udowodniliśmy, że
- LCD (a, b) = a ⋅ b / NWD (a, b).
Znajomość podstawowych przepisów i zasad związanych z LCM pozwala lepiej zrozumieć jego praktyczne znaczenie w matematyce, a także pozwala aktywnie wykorzystywać go jako jednostkę stosowaną w obliczeniach, w których znajomość wartości LCM jest warunkiem koniecznym.
