MFM kalkulator

Det minste felles multiplum (LCM) er en matematisk indikator som en elev trenger å kunne for å kunne arbeide effektivt med brøker. NOC studeres som en del av læreplanen for ungdomsskolen, og til tross for den tilsynelatende kompleksiteten til materialet, vil ikke dette emnet skape problemer for en elev som kjenner multiplikasjonstabellen og vet hvordan man jobber med grader.

LCM-definisjon

Før du begynner å bli kjent med LCM, er det nødvendig å forstå dets bredere konsept - vi snakker om definisjonen av begrepet "felles multiplum" og dets rolle i praktiske beregninger.

Et felles multiplum av flere tall er et naturlig tall som kan deles på hvert av disse tallene uten en rest. Med andre ord, et felles multiplum av en serie med heltall er ethvert heltall som er delelig med hvert av tallene i den gitte serien.

I vårt tilfelle vil vi fokusere på felles multiplum av heltall, hvorav ingen er lik null.

Når det gjelder antallet naturlige tall, i forhold til hvilke vi kan bruke konseptet "felles multiplum", så kan det være to, tre, fire eller flere av dem i en serie.

Det mest populære av felles multiplum er det minste felles multiplum – LCM er den positive verdien av det minste felles multiplum av alle tallene i serien.

NOC-eksempler

Fra definisjonen av det minste felles multiplum og dets matematiske essens, følger det at flere tall alltid har en LCM.

Den korteste formen for det minste felles multiplumet er:

a1, a2, ..., ak av formen LCM (a1, a2, ..., ak).

I tillegg kan du i noen kilder finne følgende skrivemåte:

a1, a2, ..., ak av formen [a1, a2, ..., ak].

For å demonstrere et eksempel, la oss ta LCM av to heltall: 4 og 5. Det resulterende uttrykket vil se slik ut:

LCM(4, 5) = 20.

Hvis vi tar LCM for følgende fire tall: 3, −9, 5, −15, får vi notasjonen:

LCM(3; −9; 5; −15) = 45.

Selv de enkleste skriveeksemplene viser at det er langt fra enkelt å finne det minste felles multiplum for en gruppe tall, og prosessen med å finne det kan være ganske komplisert. Det er spesielle algoritmer og teknikker som brukes aktivt ved beregning av minste felles multiplum.

Hvordan LCM og GCD er relatert

En verdi kjent i matematiske beregninger, kalt den minste felles divisor (heretter referert til som GCD), er assosiert med LCM gjennom følgende teorem: "den minste felles multiplum (LCM) av to positive heltall a og b er lik til produktet av tallene a og b delt på til den største felles divisor (gcd) av a og b".

Du kan beskrive denne teoremet ved å bruke et matematisk uttrykk som følger:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Som et bevis på denne teoremet presenterer vi litt matematisk forskning.

La oss si at m er et visst multiplum av a og b. Følgelig er m delelig med a, og ved definisjonen av delbarhet er det et heltall k som vi kan skrive likheten med:

m = a ⋅ k.

Men vi vet også at m også er delelig med b, så a ⋅ k er også delelig med b.

Vi vil bruke symbolet d for å betegne uttrykket GCD (a, b). Så vi kan skrive likhet ved å bruke uttrykk:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Her:

a1 = a / d,
b1 = b / d,

hvor a1 og b1 er relativt primtall.

Betingelsen oppnådd ovenfor at a ⋅ k er delelig med b lar oss skrive følgende uttrykk: a1 ⋅ d ⋅ k er delelig med b1 ⋅ d, og dette, i samsvar med egenskapene til delbarhet, er ekvivalent med betingelse at a1 ⋅ k er delelig med b1 .

Derfor, i samsvar med egenskapene til koprimtall, siden a1 ⋅ k er delelig med b1, og a1 ikke er delelig med b1 (a1 og b1 er koprimtall), så må k være delelig med b1. I dette tilfellet må vi ha et heltall t som uttrykket er sant for:

k = b1 ⋅ t,

og siden

b1 = b / d,

deretter:

k = b / d ⋅ t.

Sett inn i uttrykket

m = a ⋅ k

i stedet for k er uttrykket b / d ⋅ t, kommer vi til den endelige likheten:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Så vi fikk en likhet som spesifiserer formen til alle felles multipler av a og b. Siden a og b er positive tall etter betingelsen, får vi for t = 1 deres minst positive felles multiplum, som er lik a ⋅ b / d.

Dermed har vi bevist det

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Å kjenne til de grunnleggende bestemmelsene og reglene knyttet til LCM bidrar til å bedre forstå dens praktiske betydning i matematikk, og lar deg også aktivt bruke den som en anvendt enhet i beregninger der kunnskap om LCM-verdien er en forutsetning.

Et av de første spørsmålene som dukker opp når man studerer det minste felles multiplum (LCM): hva er dets praktiske betydning, og hvordan kan det være nyttig i matematiske beregninger?

Selvfølgelig, i en vitenskap som matematikk, er det ingen ubrukelige funksjoner, hver av dem er nødvendig for å utføre spesifikke beregninger. NOC er intet unntak.

Hvor LCM gjelder

Oftest brukes LCM i beregninger som krever at brøker reduseres til en fellesnevner. Denne handlingen finnes i eksempler og oppgaver for de fleste skoleprogrammer. Som regel er dette undervisningsmateriell innenfor rammen av videregående skole.

I tillegg kan LCM fungere som en felles divisor for alle multipler, hvis disse forholdene er tilstede i problemet gitt for løsning.

I praksis er det problemer der det er behov for å finne et multiplum ikke bare av to tall, men også av et mye større antall av dem - tre, fem ... Jo større antall tall i initialen forhold, jo flere handlinger må vi utføre i prosessen med å løse problemet. Den gode nyheten er at kompleksiteten til løsningen ikke vil øke i dette tilfellet. Bare beregningsskalaen vil endres.

Metoder for å finne LCM

Første vei

Som et eksempel, la oss beregne det minste felles multiplum av tallene 250, 600 og 1500.

La oss starte med å faktorisere tallene:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

I dette eksemplet har vi faktorisert uten reduksjon.

Deretter utfører vi lignende handlinger med resten av tallene:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

For å komponere et uttrykk er det nødvendig å angi alle faktorene, i vårt tilfelle er det 2, 3, 5 - for disse tallene må du bestemme maksimalgraden.

LCM = 3000.

Det bør bemerkes at alle multiplikatorer må bringes til sin fulle forenkling. Hvis mulig, dekomponer til nivået entydig.

Deretter sjekker vi:

3000 / 250 = 12 er riktig;
3000 / 600 = 5 er riktig;
3000 / 1500 = 2 er riktig.

Fordelen med denne metoden for å beregne LCM er dens enkelhet - en slik beregning krever ikke spesielle ferdigheter og høye kunnskaper i matematikk.

Andre metode

Mange matematiske beregninger kan forenkles ved å utnytte muligheten til å utføre dem i flere trinn. Det samme gjelder for å beregne minste felles multiplum.

Metoden vi skal se på nedenfor fungerer for både enkeltsifrede og tosifrede eksempler.

For en enklere og mer visuell representasjon av prosessen, må vi lage en tabell der følgende verdier skal legges inn:

til kolonner - multiplikand;
til linjer — multiplikator.

Cellene i skjæringspunktet vil inneholde verdiene til produktene til multiplikatoren og multiplikatoren. For de som ikke liker å jobbe med tabeller, er det en enklere form for skriving - i en linje der resultatene av tallet vårt skrives til heltall fra en til uendelig. I noen tilfeller er det nok å skrive ned 3-5 poeng. De resterende tallene er gjenstand for en lignende beregningsprosess. Denne handlingen utføres til et felles multiplum er funnet, det minste for alle verdier.

Finn felles multiplum av tallene 30, 35 og 42:

Finn multipler av 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Finn multipler av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Finn multipler av 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Vi har tre rader med tall som skiller seg fra hverandre, men i hver rad er det samme tall - 210. Det er dette tallet som er det minste felles multiplum for de gitte tallene.

Vi så på de enkleste måtene å beregne minste felles multiplum av en tallserie. Det finnes andre spesielle algoritmer, de kan ha noen forskjeller i beregningsprosessen, mens resultatet av beregningen vil være det samme. I tillegg finnes det for tiden et stort antall nettbaserte kalkulatorer på nettverket som lar deg finne det minste felles multiplum (LCM) uten tungvint selvberegning.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}