Het kleinste gemene veelvoud (LCM) is een wiskundige indicator die een leerling moet kennen om effectief met breuken te kunnen werken. NOC wordt bestudeerd als onderdeel van het curriculum van de middelbare school en ondanks de schijnbare complexiteit van het materiaal zal dit onderwerp geen problemen opleveren voor een student die de tafel van vermenigvuldiging kent en weet hoe hij met graden moet werken.
LCM-definitie
Voordat u kennis maakt met de LCM, is het noodzakelijk om het bredere concept ervan te begrijpen - we hebben het over de definitie van de term "gemene veelvoud" en de rol ervan in praktische berekeningen.
Een veelvoud van meerdere getallen is een natuurlijk getal dat zonder rest door elk van deze getallen kan worden gedeeld. Met andere woorden, een gemene veelvoud van een reeks gehele getallen is elk geheel getal dat deelbaar is door elk van de getallen in de gegeven reeks.
In ons geval richten we ons op veelvouden van gehele getallen, waarvan geen enkele gelijk is aan nul.
Wat betreft het aantal natuurlijke getallen, waarop we het concept van "gemene veelvoud" kunnen toepassen, dan kunnen er twee, drie, vier of meer in een reeks zijn.
Het meest populaire van de gemene veelvouden is het kleinste gemene veelvoud - de LCM is de positieve waarde van het kleinste gemene veelvoud van alle getallen in de reeks.
NOC-voorbeelden
Uit de definitie van het kleinste gemene veelvoud en de wiskundige essentie volgt dat meerdere getallen altijd een LCM hebben.
De kortste vorm voor het kleinste gemene veelvoud is:
- a1, a2, ..., ak van de vorm LCM (a1, a2, ..., ak).
Bovendien kunt u in sommige bronnen de volgende schrijfvorm vinden:
- a1, a2, ..., ak in de vorm [a1, a2, ..., ak].
Om een voorbeeld te demonstreren, nemen we de LCM van twee gehele getallen: 4 en 5. De resulterende uitdrukking ziet er als volgt uit:
- LCM(4, 5) = 20.
Als we de LCM nemen voor de volgende vier getallen: 3, −9, 5, −15, krijgen we de notatie:
- KGW(3, −9, 5, −15) = 45.
Zelfs de eenvoudigste schrijfvoorbeelden laten zien dat het vinden van het kleinste gemene veelvoud voor een groep getallen verre van eenvoudig is, en het proces om het te vinden kan behoorlijk ingewikkeld zijn. Er zijn speciale algoritmen en technieken die actief worden gebruikt bij het berekenen van het kleinste gemene veelvoud.
Hoe LCM en GCD gerelateerd zijn
Een waarde die bekend is in wiskundige berekeningen, de kleinste gemene deler genoemd (hierna GCD genoemd), wordt geassocieerd met LCM via de volgende stelling: “het kleinste gemene veelvoud (LCM) van twee positieve gehele getallen a en b is gelijk aan het product van de getallen a en b gedeeld door tot de grootste gemene deler (ggd) van a en b".
U kunt deze stelling als volgt beschrijven met een wiskundige uitdrukking:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Als bewijs van deze stelling presenteren we wat wiskundig onderzoek.
Stel dat m een bepaald veelvoud is van a en b. Dienovereenkomstig is m deelbaar door a, en volgens de definitie van deelbaarheid is er een geheel getal k, waarmee we de gelijkheid kunnen schrijven:
- m = a ⋅ k.
Maar we weten ook dat m ook deelbaar is door b, dus a ⋅ k is ook deelbaar door b.
We gebruiken het symbool d om de uitdrukking GCD (a, b) aan te duiden. We kunnen dus gelijkheid schrijven met uitdrukkingen:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Hier:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
waarbij a1 en b1 relatief priemgetallen zijn.
De hierboven verkregen voorwaarde dat a ⋅ k deelbaar is door b stelt ons in staat om de volgende uitdrukking te schrijven: a1 ⋅ d ⋅ k is deelbaar door b1 ⋅ d, en dit is, in overeenstemming met de eigenschappen van deelbaarheid, equivalent aan de voorwaarde dat a1 ⋅ k deelbaar is door b1 .
Daarom, volgens de eigenschappen van coprime getallen, aangezien a1 ⋅ k deelbaar is door b1, en a1 niet deelbaar is door b1 (a1 en b1 zijn coprime getallen), moet k deelbaar zijn door b1. In dit geval moeten we een geheel getal t hebben waarvoor de uitdrukking waar is:
- k = b1 ⋅ t,
en sindsdien
- b1 = b / d,
dan:
- k = b / d ⋅ t.
Vervangen in de uitdrukking
- m = a ⋅ k
in plaats van k is zijn uitdrukking b / d ⋅ t, komen we tot de uiteindelijke gelijkheid:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Dus we hebben een gelijkheid die de vorm specificeert van alle gemene veelvouden van a en b. Aangezien a en b positieve getallen zijn volgens de voorwaarde, krijgen we voor t = 1 hun kleinste positieve gemene veelvoud, wat gelijk is aan a ⋅ b / d.
Dat hebben we dus bewezen
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Kennis van de basisbepalingen en regels in verband met LCM helpt om de praktische betekenis ervan in de wiskunde beter te begrijpen, en stelt u ook in staat om het actief te gebruiken als een toegepaste eenheid in berekeningen waarbij kennis van de LCM-waarde een vereiste is.
