Berbilangan sepunya terkecil (LCM) ialah penunjuk matematik yang perlu diketahui oleh pelajar untuk menggunakan pecahan dengan berkesan. NOC dikaji sebagai sebahagian daripada kurikulum sekolah menengah, dan, walaupun bahan itu kelihatan rumit, topik ini tidak akan menimbulkan masalah kepada pelajar yang mengetahui jadual pendaraban dan tahu cara bekerja dengan ijazah.
Takrifan LCM
Sebelum mula membiasakan diri dengan LCM, adalah perlu untuk memahami konsepnya yang lebih luas - kita bercakap tentang takrif istilah "bilangan sepunya" dan peranannya dalam pengiraan praktikal.
Darab sepunya beberapa nombor ialah nombor asli yang boleh dibahagikan dengan setiap nombor ini tanpa baki. Dalam erti kata lain, gandaan sepunya siri integer ialah sebarang integer yang boleh dibahagi dengan setiap nombor dalam siri yang diberikan.
Dalam kes kami, kami akan menumpukan pada gandaan sepunya integer, tiada satu pun yang sama dengan sifar.
Bagi bilangan nombor asli, yang berkaitan dengannya kita boleh menggunakan konsep "bilangan sepunya", maka boleh ada dua, tiga, empat atau lebih daripadanya dalam satu siri.
Darab sepunya yang paling popular ialah gandaan sepunya terkecil - LCM ialah nilai positif gandaan sepunya terkecil daripada semua nombor dalam siri.
Contoh NOC
Daripada takrif gandaan sepunya terkecil dan intipati matematiknya, beberapa nombor sentiasa mempunyai LCM.
Bentuk terpendek untuk gandaan sepunya terkecil ialah:
- a1, a2, ..., ak dalam bentuk LCM (a1, a2, ..., ak).
Selain itu, dalam beberapa sumber anda boleh menemui bentuk penulisan berikut:
- a1, a2, ..., ak dalam bentuk [a1, a2, ..., ak].
Untuk menunjukkan contoh, mari kita ambil LCM bagi dua integer: 4 dan 5. Ungkapan yang terhasil akan kelihatan seperti ini:
- LCM(4, 5) = 20.
Jika kita mengambil LCM untuk empat nombor berikut: 3, −9, 5, −15, kita mendapat tatatanda:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Malah contoh penulisan yang paling mudah menunjukkan bahawa mencari gandaan sepunya terkecil untuk sekumpulan nombor adalah jauh daripada mudah, dan proses mencarinya boleh menjadi agak rumit. Terdapat algoritma dan teknik khas yang digunakan secara aktif semasa mengira gandaan sepunya terkecil.
Cara LCM dan GCD berkaitan
Nilai yang diketahui dalam pengiraan matematik, dipanggil pembahagi sepunya terkecil (selepas ini dirujuk sebagai GCD), dikaitkan dengan LCM melalui teorem berikut: “bilangan sepunya terkecil (LCM) bagi dua integer positif a dan b adalah sama dengan hasil darab nombor a dan b dibahagikan dengan kepada pembahagi sepunya terbesar (gcd) bagi a dan b".
Anda boleh menerangkan teorem ini menggunakan ungkapan matematik seperti berikut:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Sebagai bukti teorem ini, kami membentangkan beberapa penyelidikan matematik.
Katakan m ialah gandaan tertentu bagi a dan b. Oleh itu, m boleh dibahagikan dengan a, dan, mengikut takrif kebolehbahagi, terdapat beberapa integer k, yang dengannya kita boleh menulis kesamaan:
- m = a ⋅ k.
Tetapi, kita juga tahu bahawa m juga boleh dibahagikan dengan b, jadi a ⋅ k juga boleh dibahagikan dengan b.
Kami akan menggunakan simbol d untuk menandakan ungkapan GCD (a, b). Jadi kita boleh menulis kesamaan menggunakan ungkapan:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Di sini:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
dengan a1 dan b1 ialah nombor perdana secara relatif.
Syarat yang diperolehi di atas bahawa a ⋅ k boleh dibahagi dengan b membolehkan kita menulis ungkapan berikut: a1 ⋅ d ⋅ k boleh dibahagikan dengan b1 ⋅ d, dan ini, mengikut sifat kebolehbahagi, adalah bersamaan dengan syarat bahawa a1 ⋅ k boleh dibahagi dengan b1 .
Oleh itu, mengikut sifat nombor koprima, kerana a1 ⋅ k boleh dibahagi dengan b1, dan a1 tidak boleh dibahagi dengan b1 (a1 dan b1 ialah nombor koprima), maka k mesti boleh dibahagi dengan b1. Dalam kes ini, kita mesti mempunyai beberapa integer t yang mana ungkapan itu benar:
- k = b1 ⋅ t,
dan sejak
- b1 = b / d,
kemudian:
- k = b / d ⋅ t.
Menggantikan ke dalam ungkapan
- m = a ⋅ k
daripada k ungkapannya ialah b / d ⋅ t, kita sampai pada kesamaan akhir:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Jadi kami mendapat kesamaan yang menentukan bentuk semua gandaan sepunya a dan b. Oleh kerana a dan b ialah nombor positif mengikut keadaan, maka untuk t = 1 kita mendapat gandaan sepunya terkecil positifnya, yang sama dengan a ⋅ b / d.
Oleh itu, kami telah membuktikannya
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Mengetahui peruntukan asas dan peraturan yang dikaitkan dengan LCM membantu untuk lebih memahami kepentingan praktikalnya dalam matematik, dan juga membolehkan anda menggunakannya secara aktif sebagai unit gunaan dalam pengiraan yang mana pengetahuan tentang nilai LCM merupakan prasyarat.
