Најмалку заеднички множител (LCM) е математички индикатор што студентот треба да го знае за да може ефективно да работи со дропки. NOC се изучува како дел од наставната програма за средно училиште и, и покрај очигледната сложеност на материјалот, оваа тема нема да предизвика проблеми за ученик кој ја знае табелата за множење и знае како да работи со степени.
LCM дефиниција
Пред да започнете да се запознавате со LCM, неопходно е да се разбере неговиот поширок концепт - зборуваме за дефиницијата на поимот „заеднички множител“ и неговата улога во практичните пресметки.
Заеднички множител на неколку броеви е природен број што може да се подели со секој од овие броеви без остаток. Со други зборови, заеднички множител на низа цели броеви е секој цел број што е делив со секој од броевите во дадената серија.
Во нашиот случај, ќе се фокусираме на заеднички множители на цели броеви, од кои ниту еден не е еднаков на нула.
Што се однесува до бројот на природни броеви, во однос на кои можеме да го примениме концептот „заеднички множител“, тогаш може да има два, три, четири или повеќе од нив во серија.
Најпопуларното од заедничките множители е најмалиот заеднички множител - LCM е позитивната вредност на најмалиот заеднички множител од сите броеви во серијата.
Примери NOC
Од дефиницијата за најмалиот заеднички множител и неговата математичка суштина, произлегува дека неколку броеви секогаш имаат LCM.
Најкратката форма за најмал заеднички множител е:
- a1, a2, ..., ak од формата LCM (a1, a2, ..., ak).
Покрај тоа, во некои извори можете да ја најдете следната форма на пишување:
- a1, a2, ..., ak од формата [a1, a2, ..., ak].
За да демонстрираме пример, да го земеме LCM од два цели броеви: 4 и 5. Добиениот израз ќе изгледа вака:
- LCM(4, 5) = 20.
Ако го земеме LCM за следните четири броеви: 3, −9, 5, −15, ја добиваме ознаката:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Дури и наједноставните примери за пишување покажуваат дека наоѓањето на најмал заеднички множител за група броеви е далеку од лесно, а процесот на негово наоѓање може да биде доста комплициран. Постојат специјални алгоритми и техники кои активно се користат при пресметување на најмалиот заеднички множител.
Како се поврзани LCM и GCD
Вредноста позната во математичките пресметки, наречена најмал заеднички делител (во понатамошниот текст GCD), е поврзана со LCM преку следнава теорема: „најмалата заедничка множина (LCM) на два позитивни цели броеви a и b е еднаква на производот на броевите a и b поделен со до најголемиот заеднички делител (gcd) на a и b".
Можете да ја опишете оваа теорема користејќи математички израз на следниов начин:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Како доказ за оваа теорема, презентираме неколку математички истражувања.
Да речеме m е одредено множител на a и b. Според тоа, m е делив со a, и според дефиницијата за деливост, постои цел број k, со кој можеме да ја запишеме еднаквоста:
- m = a ⋅ k.
Но, знаеме и дека m е исто така делив со b, така што a ⋅ k исто така е делив со b.
Ќе го користиме симболот d за да го означиме изразот GCD (a, b). Така, можеме да напишеме еднаквост користејќи изрази:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Тука:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
каде a1 и b1 се релативно прости броеви.
Условот добиен погоре дека a ⋅ k е делив со b ни овозможува да го напишеме следниот израз: a1 ⋅ d ⋅ k е делив со b1 ⋅ d, а тоа, во согласност со својствата на деливост, е еквивалентно на услов a1 ⋅ k да се дели со b1 .
Затоа, според својствата на сопростите броеви, бидејќи a1 ⋅ k е делив со b1, а a1 не е делив со b1 (a1 и b1 се сопрости броеви), тогаш k мора да биде делив со b1. Во овој случај, мора да имаме цел број t за кој изразот е точен:
- k = b1 ⋅ t,
и од
- b1 = b / d,
тогаш:
- k = b / d ⋅ t.
Замена во изразот
- m = a ⋅ k
наместо k неговиот израз е b / d ⋅ t, доаѓаме до крајната еднаквост:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Значи, добивме еднаквост што ја одредува формата на сите заеднички множители на a и b. Бидејќи a и b се позитивни броеви според условот, тогаш за t = 1 го добиваме нивниот најмал позитивен заеднички множител, што е еднакво на a ⋅ b / d.
Така, го докажавме тоа
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Познавањето на основните одредби и правила поврзани со LCM помага подобро да се разбере неговото практично значење во математиката, а исто така ви овозможува активно да го користите како применета единица во пресметките во кои знаењето за вредноста на LCM е предуслов.
