Mazāk sastopamais daudzkārtnis (LCM) ir matemātisks rādītājs, kas studentam jāzina, lai efektīvi strādātu ar daļskaitļiem. NOC tiek apgūts vidusskolas mācību programmas ietvaros, un, neskatoties uz šķietamo materiāla sarežģītību, šī tēma neradīs problēmas skolēnam, kurš zina reizināšanas tabulu un prot strādāt ar grādiem.
LCM definīcija
Pirms sākt iepazīties ar LCM, ir jāizprot tā plašāks jēdziens – runa ir par jēdziena "kopējais daudzkārtnis" definīciju un lomu praktiskajos aprēķinos.
Vairāku skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, ko var dalīt ar katru no šiem skaitļiem bez atlikuma. Citiem vārdiem sakot, veselu skaitļu sērijas kopīgs daudzkārtnis ir jebkurš vesels skaitlis, kas dalās ar katru no norādītās sērijas skaitļiem.
Šajā gadījumā mēs koncentrēsimies uz kopējiem veselu skaitļu daudzkārtņiem, no kuriem neviens nav vienāds ar nulli.
Kas attiecas uz naturālo skaitļu skaitu, attiecībā uz kuriem mēs varam piemērot jēdzienu "kopējais daudzkārtnis", tad virknē tie var būt divi, trīs, četri vai vairāk.
Populārākais no kopējiem reizinātājiem ir mazākais kopīgais reizinātājs — LCM ir visu sērijas skaitļu mazākā kopskaita pozitīvā vērtība.
NOC piemēri
No mazākā kopskaita definīcijas un tā matemātiskās būtības izriet, ka vairākiem skaitļiem vienmēr ir LCM.
Vismazāk sastopamā daudzkārtņa īsākā forma ir:
- a1, a2, ..., ak formā LCM (a1, a2, ..., ak).
Turklāt dažos avotos var atrast šādu rakstīšanas veidu:
- a1, a2, ..., ak formā [a1, a2, ..., ak].
Lai parādītu piemēru, pieņemsim divu veselu skaitļu LCM: 4 un 5. Iegūtā izteiksme izskatīsies šādi:
- LCM(4, 5) = 20.
Ja izmantosim LCM šādiem četriem skaitļiem: 3, −9, 5, −15, mēs iegūstam apzīmējumu:
- LCM(3, -9, 5, -15) = 45.
Pat visvienkāršākie rakstīšanas piemēri parāda, ka skaitļu grupas mazākā kopskaita atrašana nebūt nav vienkārša, un tā atrašanas process var būt diezgan sarežģīts. Ir īpaši algoritmi un paņēmieni, kas tiek aktīvi izmantoti, aprēķinot mazāko kopējo daudzkārtni.
Kā LCM un GCD ir saistīti
Matemātiskos aprēķinos zināmā vērtība, ko sauc par mazāk izplatīto dalītāju (turpmāk tekstā — GCD), ir saistīta ar LCM, izmantojot šādu teorēmu: “divu pozitīvu veselu skaitļu a un b mazākais kopīgais daudzkārtnis (LCM) ir vienāds ar skaitļu a un b reizinājums, dalīts ar a un b lielāko kopīgo dalītāju (gcd).
Šo teorēmu varat aprakstīt, izmantojot matemātisko izteiksmi šādi:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Kā šīs teorēmas pierādījumu mēs piedāvājam dažus matemātiskus pētījumus.
Pieņemsim, ka m ir noteikts a un b daudzkārtnis. Attiecīgi m dalās ar a, un pēc dalāmības definīcijas ir kāds vesels skaitlis k, ar kuru mēs varam uzrakstīt vienādību:
- m = a ⋅ k.
Bet mēs arī zinām, ka m dalās arī ar b, tāpēc arī a ⋅ k dalās ar b.
Mēs izmantosim simbolu d, lai apzīmētu izteiksmi GCD (a, b). Tātad mēs varam rakstīt vienlīdzību, izmantojot izteiksmes:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Šeit:
- a1 = a / d,
- b1 = b/d,
kur a1 un b1 ir relatīvi pirmskaitļi.
Iepriekš iegūtais nosacījums, ka a ⋅ k dalās ar b, ļauj uzrakstīt šādu izteiksmi: a1 ⋅ d ⋅ k dalās ar b1 ⋅ d, un tas saskaņā ar dalāmības īpašībām ir ekvivalents nosacījums, ka a1 ⋅ k dalās ar b1 .
Tāpēc saskaņā ar kopskaitļu īpašībām, tā kā a1 ⋅ k dalās ar b1, bet a1 nedalās ar b1 (a1 un b1 ir pirmskaitļi), tad k jādalās ar b1. Šajā gadījumā mums ir jābūt veselam skaitlim t, kuram izteiksme ir patiesa:
- k = b1 ⋅ t,
un kopš
- b1 = b/d,
pēc tam:
- k = b / d ⋅ t.
Izteiksmes aizstāšana
- m = a ⋅ k
K vietā tā izteiksme ir b / d ⋅ t, mēs nonākam pie galīgās vienādības:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Tātad mēs saņēmām vienādību, kas nosaka visu a un b kopējo daudzkārtņu formu. Tā kā a un b ir pozitīvi skaitļi pēc nosacījuma, tad pie t = 1 mēs iegūstam to mazāko pozitīvo kopējo daudzkārtni, kas ir vienāds ar a ⋅ b / d.
Tādējādi mēs to esam pierādījuši
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Ar LCM saistīto pamatnoteikumu un noteikumu pārzināšana palīdz labāk izprast tā praktisko nozīmi matemātikā, kā arī ļauj to aktīvi izmantot kā lietišķu vienību aprēķinos, kuros priekšnoteikums ir LCM vērtības zināšanas.
