Mažiausias bendrasis kartotinis (LCM) yra matematinis rodiklis, kurį mokinys turi žinoti, kad galėtų efektyviai dirbti su trupmenomis. NOC yra mokomasi kaip vidurinės mokyklos mokymo programos dalis, ir, nepaisant akivaizdaus medžiagos sudėtingumo, ši tema nesukels problemų studentui, kuris žino daugybos lentelę ir moka dirbti su laipsniais.
LCM apibrėžimas
Prieš pradedant susipažinti su LCM, būtina perprasti platesnę jo sampratą – kalbame apie sąvokos „bendrasis kartotinis“ apibrėžimą ir jos vaidmenį praktiniuose skaičiavimuose.
Bendrasis kelių skaičių kartotinis yra natūralusis skaičius, kurį galima padalyti iš kiekvieno iš šių skaičių be liekanos. Kitaip tariant, bendras sveikųjų skaičių serijos kartotinis yra bet koks sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno nurodytos serijos skaičiaus.
Mūsų atveju daugiausia dėmesio skirsime bendriesiems sveikųjų skaičių kartotiniams, kurių nė vienas nėra lygus nuliui.
Kalbant apie natūraliųjų skaičių, kurių atžvilgiu galime taikyti „bendrojo kartotinio“ sąvoką, skaičių serijoje gali būti du, trys, keturi ar daugiau.
Populiariausias iš bendrųjų kartotinių yra mažiausias bendras kartotinis – LCM yra teigiama visų serijos skaičių mažiausio bendro kartotinio vertė.
NOC pavyzdžiai
Iš mažiausio bendro kartotinio apibrėžimo ir jo matematinės esmės matyti, kad keli skaičiai visada turi LCM.
Trumpiausia mažiausiojo kartotinio forma yra:
- a1, a2, ..., ak formos LCM (a1, a2, ..., ak).
Be to, kai kuriuose šaltiniuose galite rasti tokią rašymo formą:
- a1, a2, ..., ak formos [a1, a2, ..., ak].
Norėdami parodyti pavyzdį, paimkime dviejų sveikųjų skaičių LCM: 4 ir 5. Gauta išraiška atrodys taip:
- LCM(4, 5) = 20.
Jei imsime šių keturių skaičių LCM: 3, –9, 5, –15, gausime užrašą:
- LCM(3, -9, 5, -15) = 45.
Net paprasčiausi rašymo pavyzdžiai rodo, kad rasti mažiausią skaičių grupės kartotinį toli gražu nėra lengva, o jo radimo procesas gali būti gana sudėtingas. Yra specialūs algoritmai ir metodai, kurie aktyviai naudojami apskaičiuojant mažiausią bendrą kartotinį.
Kaip LCM ir GCD yra susiję
Matematiniuose skaičiavimuose žinoma reikšmė, vadinama mažiausiai bendruoju dalikliu (toliau – GCD), susiejama su LCM pagal šią teoremą: „mažiausias bendras kartotinis (LCM) iš dviejų teigiamų sveikųjų skaičių a ir b yra lygus skaičių a ir b sandauga, padalyta iš didžiausio a ir b bendro daliklio (gcd).
Šią teoremą galite apibūdinti naudodami matematinę išraišką taip:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Kaip šios teoremos įrodymą pateikiame keletą matematinių tyrimų.
Tarkime, m yra tam tikras a ir b kartotinis. Atitinkamai, m dalijasi iš a, ir pagal dalijimosi apibrėžimą yra koks nors sveikasis skaičius k, su kuriuo galime parašyti lygybę:
- m = a ⋅ k.
Tačiau taip pat žinome, kad m taip pat dalijasi iš b, todėl a ⋅ k taip pat dalijasi iš b.
Naudosime simbolį d, kad žymėtume išraišką GCD (a, b). Taigi lygybę galime parašyti naudodami išraiškas:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Čia:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
kur a1 ir b1 yra santykinai pirminiai skaičiai.
Aukščiau gauta sąlyga, kad a ⋅ k dalijasi iš b, leidžia parašyti tokią išraišką: a1 ⋅ d ⋅ k dalijasi iš b1 ⋅ d, ir tai, atsižvelgiant į dalijamumo savybes, yra lygiavertė sąlyga, kad a1 ⋅ k dalijasi iš b1 .
Todėl pagal pirminių skaičių savybes, kadangi a1 ⋅ k dalijasi iš b1, o a1 nesidalija iš b1 (a1 ir b1 yra pirminiai skaičiai), tai k turi dalytis iš b1. Šiuo atveju turime turėti kokį nors sveikąjį skaičių t, kurio išraiška yra teisinga:
- k = b1 ⋅ t,
ir nuo to laiko
- b1 = b / d,
tada:
- k = b / d ⋅ t.
Pakeitimas į išraišką
- m = a ⋅ k
vietoj k jo išraiška yra b / d ⋅ t, gauname galutinę lygybę:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Taigi gavome lygybę, kuri nurodo visų bendrųjų a ir b kartotinių formą. Kadangi a ir b yra teigiami skaičiai pagal sąlygą, tada t = 1 gauname jų mažiausią teigiamą bendrąjį kartotinį, kuris yra lygus a ⋅ b / d.
Taigi mes tai įrodėme
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Pagrindinių su LCM susijusių nuostatų ir taisyklių žinojimas padeda geriau suprasti jo praktinę reikšmę matematikoje, taip pat leidžia jį aktyviai naudoti kaip taikomąjį vienetą skaičiuojant, kai būtina žinoti LCM reikšmę.
