최소 공배수(LCM)는 학생이 분수를 효과적으로 사용하기 위해 알아야 하는 수학적 지표입니다. NOC는 중등 학교 커리큘럼의 일부로 학습되며, 자료의 명백한 복잡성에도 불구하고 이 주제는 구구단을 알고 학위를 다루는 방법을 알고 있는 학생에게 문제를 일으키지 않습니다.
LCM 정의
LCM에 익숙해지기 전에 더 넓은 개념을 이해해야 합니다. 여기서는 '공배수'라는 용어의 정의와 실제 계산에서의 역할에 대해 이야기하고 있습니다.
여러 수의 공배수는 이들 각각의 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 자연수입니다. 즉, 일련의 정수의 공배수는 주어진 일련의 숫자 각각으로 나눌 수 있는 모든 정수입니다.
이 경우에는 0이 아닌 정수의 공배수에 초점을 맞출 것입니다.
공배수 개념을 적용할 수 있는 자연수의 수는 2개, 3개, 4개 또는 그 이상이 수열로 존재할 수 있습니다.
가장 인기 있는 공배수는 최소 공배수입니다. LCM은 시리즈의 모든 숫자 중 가장 작은 공배수의 양수 값입니다.
NOC 예
최소 공배수의 정의와 그 수학적 본질에서 여러 숫자는 항상 최소공배수를 가집니다.
최소 공배수의 가장 짧은 형식은 다음과 같습니다.
- a1, a2, ..., LCM 형식의 ak(a1, a2, ..., ak).
또한 일부 출처에서는 다음과 같은 글쓰기 형식을 찾을 수 있습니다.
- [a1, a2, ..., ak] 형식의 a1, a2, ..., ak.
예를 보여주기 위해 두 정수의 최소공배수(4와 5)를 살펴보겠습니다. 결과 표현식은 다음과 같습니다.
- LCM(4, 5) = 20.
다음 4개 숫자에 대해 최소공배수를 사용하면 3, −9, 5, −15라는 표기법을 얻습니다.
- LCM(3, -9, 5, -15) = 45.
가장 간단한 쓰기 예제조차도 숫자 그룹에 대한 최소 공배수를 찾는 것이 쉽지 않고 이를 찾는 과정이 상당히 복잡할 수 있음을 보여줍니다. 최소 공배수를 계산할 때 적극적으로 사용되는 특별한 알고리즘과 기술이 있습니다.
LCM과 GCD의 관계
최소 공약수(이하 GCD)라고 하는 수학 계산에서 알려진 값은 다음 정리를 통해 LCM과 연관됩니다. “두 양의 정수 a와 b의 최소 공배수(LCM)는 같습니다 숫자 a와 b의 곱을 a와 b의 최대 공약수(gcd)로 나눈 값입니다.
다음과 같이 수학적 표현을 사용하여 이 정리를 설명할 수 있습니다.
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
이 정리의 증명으로 몇 가지 수학적 연구를 제시합니다.
m이 a와 b의 어떤 배수라고 합시다. 따라서 m은 a로 나눌 수 있고, 가분성의 정의에 따라 등식을 쓸 수 있는 정수 k가 있습니다.
- m = ⋅ k.
그러나 우리는 m도 b로 나눌 수 있으므로 a ⋅ k도 b로 나눌 수 있음을 알고 있습니다.
기호 d를 사용하여 표현 GCD(a, b)를 나타냅니다. 따라서 식을 사용하여 같음을 작성할 수 있습니다.
- <리>a = a1 ⋅ d, <리>b = b1 ⋅ d.
여기:
- a1 = a / d,
- <리>b1 = b/d,
여기서 a1과 b1은 상대적으로 소수입니다.
a ⋅ k가 b로 나누어질 수 있다는 위에서 얻은 조건은 우리가 다음 식을 쓸 수 있도록 합니다: a1 ⋅ d ⋅ k는 b1 ⋅ d로 나눌 수 있으며, 이는 가분성의 속성에 따라 다음과 같습니다. a1 ⋅ k가 b1로 나누어지는 조건.
따라서 서로소의 성질에 따라 a1 ⋅ k는 b1로 나누어지고 a1은 b1으로 나누어지지 않으므로(a1과 b1은 서로소수임) k는 b1으로 나누어져야 합니다. 이 경우 식이 참인 정수 t가 있어야 합니다.
- <리>k = b1 · t,
이후
- <리>b1 = b/d,
그러면:
- k = b / d ⋅ t.
식으로 대체
- <리>m = ⋅ 케이
k 대신 그 표현은 b / d ⋅ t입니다. 최종 평등에 도달합니다.
- <리>m = ⋅ b / d ⋅ t.
그래서 우리는 a와 b의 모든 공배수의 형식을 지정하는 등식을 얻었습니다. a와 b는 조건에 따라 양수이므로 t = 1에 대해 최소 양의 공배수를 얻습니다. 이는 a ⋅ b / d와 같습니다.
그래서 우리는 그것을 증명했습니다
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
LCM과 관련된 기본 조항 및 규칙을 알면 수학에서의 실용적인 의미를 더 잘 이해하는 데 도움이 되며, LCM 값에 대한 지식이 전제되는 계산에서 응용 단위로 적극적으로 사용할 수 있습니다.
