최소 공배수 계산기

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최소공배수 계산기

최소 공배수(LCM)는 학생이 분수를 효과적으로 사용하기 위해 알아야 하는 수학적 지표입니다. NOC는 중등 학교 커리큘럼의 일부로 학습되며, 자료의 명백한 복잡성에도 불구하고 이 주제는 구구단을 알고 학위를 다루는 방법을 알고 있는 학생에게 문제를 일으키지 않습니다.

LCM 정의

LCM에 익숙해지기 전에 더 넓은 개념을 이해해야 합니다. 여기서는 '공배수'라는 용어의 정의와 실제 계산에서의 역할에 대해 이야기하고 있습니다.

여러 수의 공배수는 이들 각각의 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 자연수입니다. 즉, 일련의 정수의 공배수는 주어진 일련의 숫자 각각으로 나눌 수 있는 모든 정수입니다.

이 경우에는 0이 아닌 정수의 공배수에 초점을 맞출 것입니다.

공배수 개념을 적용할 수 있는 자연수의 수는 2개, 3개, 4개 또는 그 이상이 수열로 존재할 수 있습니다.

가장 인기 있는 공배수는 최소 공배수입니다. LCM은 시리즈의 모든 숫자 중 가장 작은 공배수의 양수 값입니다.

NOC 예

최소 공배수의 정의와 그 수학적 본질에서 여러 숫자는 항상 최소공배수를 가집니다.

최소 공배수의 가장 짧은 형식은 다음과 같습니다.

a1, a2, ..., LCM 형식의 ak(a1, a2, ..., ak).

또한 일부 출처에서는 다음과 같은 글쓰기 형식을 찾을 수 있습니다.

[a1, a2, ..., ak] 형식의 a1, a2, ..., ak.

예를 보여주기 위해 두 정수의 최소공배수(4와 5)를 살펴보겠습니다. 결과 표현식은 다음과 같습니다.

LCM(4, 5) = 20.

다음 4개 숫자에 대해 최소공배수를 사용하면 3, −9, 5, −15라는 표기법을 얻습니다.

LCM(3, -9, 5, -15) = 45.

가장 간단한 쓰기 예제조차도 숫자 그룹에 대한 최소 공배수를 찾는 것이 쉽지 않고 이를 찾는 과정이 상당히 복잡할 수 있음을 보여줍니다. 최소 공배수를 계산할 때 적극적으로 사용되는 특별한 알고리즘과 기술이 있습니다.

LCM과 GCD의 관계

최소 공약수(이하 GCD)라고 하는 수학 계산에서 알려진 값은 다음 정리를 통해 LCM과 연관됩니다. “두 양의 정수 a와 b의 최소 공배수(LCM)는 같습니다 숫자 a와 b의 곱을 a와 b의 최대 공약수(gcd)로 나눈 값입니다.

다음과 같이 수학적 표현을 사용하여 이 정리를 설명할 수 있습니다.

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

이 정리의 증명으로 몇 가지 수학적 연구를 제시합니다.

m이 a와 b의 어떤 배수라고 합시다. 따라서 m은 a로 나눌 수 있고, 가분성의 정의에 따라 등식을 쓸 수 있는 정수 k가 있습니다.

m = ⋅ k.

그러나 우리는 m도 b로 나눌 수 있으므로 a ⋅ k도 b로 나눌 수 있음을 알고 있습니다.

기호 d를 사용하여 표현 GCD(a, b)를 나타냅니다. 따라서 식을 사용하여 같음을 작성할 수 있습니다.

<리>a = a1 ⋅ d, <리>b = b1 ⋅ d.

여기:

a1 = a / d,
<리>b1 = b/d,

여기서 a1과 b1은 상대적으로 소수입니다.

a ⋅ k가 b로 나누어질 수 있다는 위에서 얻은 조건은 우리가 다음 식을 쓸 수 있도록 합니다: a1 ⋅ d ⋅ k는 b1 ⋅ d로 나눌 수 있으며, 이는 가분성의 속성에 따라 다음과 같습니다. a1 ⋅ k가 b1로 나누어지는 조건.

따라서 서로소의 성질에 따라 a1 ⋅ k는 b1로 나누어지고 a1은 b1으로 나누어지지 않으므로(a1과 b1은 서로소수임) k는 b1으로 나누어져야 합니다. 이 경우 식이 참인 정수 t가 있어야 합니다.

<리>k = b1 · t,

이후

<리>b1 = b/d,

그러면:

k = b / d ⋅ t.

식으로 대체

<리>m = ⋅ 케이

k 대신 그 표현은 b / d ⋅ t입니다. 최종 평등에 도달합니다.

<리>m = ⋅ b / d ⋅ t.

그래서 우리는 a와 b의 모든 공배수의 형식을 지정하는 등식을 얻었습니다. a와 b는 조건에 따라 양수이므로 t = 1에 대해 최소 양의 공배수를 얻습니다. 이는 a ⋅ b / d와 같습니다.

그래서 우리는 그것을 증명했습니다

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

LCM과 관련된 기본 조항 및 규칙을 알면 수학에서의 실용적인 의미를 더 잘 이해하는 데 도움이 되며, LCM 값에 대한 지식이 전제되는 계산에서 응용 단위로 적극적으로 사용할 수 있습니다.

최소 공배수 찾는 방법

최소 공배수(LCM)를 연구할 때 발생하는 첫 번째 질문 중 하나는 실용적인 의미는 무엇이며 수학 계산에 어떻게 유용할 수 있습니까?

물론 수학 같은 과학에는 쓸모없는 함수가 없으며, 각각의 함수는 특정 계산을 수행하는 데 필요합니다. NOC도 예외는 아닙니다.

LCM이 적용되는 경우

대부분의 LCM은 분수를 공통 분모로 줄여야 하는 계산에 사용됩니다. 이 작업은 대부분의 학교 프로그램의 예와 작업에서 찾을 수 있습니다. 원칙적으로 이것은 고등학교의 틀 내에서 교육 자료입니다.

또한 LCM은 해결을 위해 제공된 문제에 이러한 조건이 있는 경우 모든 배수에 대한 공약수 역할을 할 수 있습니다.

실제로 두 개의 숫자뿐만 아니라 훨씬 더 많은 수의 배수를 찾아야 하는 문제가 있습니다. 3, 5 ... 초기의 숫자 수가 많을수록 조건일수록 문제를 해결하는 과정에서 더 많은 조치를 취해야 합니다. 좋은 소식은 이 경우 솔루션의 복잡성이 증가하지 않는다는 것입니다. 계산 규모만 변경됩니다.

LCM을 찾는 방법

첫 번째 방법

예를 들어 숫자 250, 600, 1500의 최소공배수를 계산해 봅시다.

숫자를 인수분해하여 시작하겠습니다.

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

이 예에서는 축소하지 않고 인수분해했습니다.

다음으로 나머지 숫자에 대해 유사한 작업을 수행합니다.

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
<리>1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

식을 작성하려면 모든 요소를 지정해야 합니다. 이 경우 2, 3, 5입니다. 이 숫자의 경우 최대 정도를 결정해야 합니다.

LCM = 3000.

모든 곱셈기는 완전히 단순화되어야 한다는 점에 유의해야 합니다. 가능하면 모호하지 않은 수준으로 분해합니다.

다음으로 다음을 확인합니다.

3000 / 250 = 12가 맞습니다.
3000 / 600 = 5가 맞습니다.
3000 / 1500 = 2가 맞습니다.

이 LCM 계산 방법의 장점은 단순성입니다. 이러한 계산에는 특별한 기술과 높은 수학 지식이 필요하지 않습니다.

두 번째 방법

많은 수학적 계산은 여러 단계로 수행할 수 있는 기능을 활용하여 단순화할 수 있습니다. 최소 공배수를 계산할 때도 마찬가지입니다.

아래에서 살펴볼 방법은 한 자리 및 두 자리 예 모두에 적용됩니다.

프로세스를 더 간단하고 시각적으로 표현하려면 다음 값을 입력할 테이블을 만들어야 합니다.

열로 - 승수
줄로 — 승수.

교차점의 셀에는 피승수와 승수의 곱 값이 포함됩니다. 테이블 작업을 좋아하지 않는 사람들을 위해 숫자의 결과가 1에서 무한대까지의 정수로 쓰여지는 줄에 더 간단한 형태의 쓰기가 있습니다. 어떤 경우에는 3-5점을 적는 것으로 충분합니다. 나머지 숫자는 유사한 계산 프로세스를 따릅니다. 이 작업은 모든 값에 대해 가장 작은 공배수를 찾을 때까지 수행됩니다.

숫자 30, 35, 42의 공배수를 구하세요.

30의 배수 찾기: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
35의 배수 찾기: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
42의 배수 찾기: 84, 126, 168, 210, 252, ...

서로 다른 세 행의 숫자가 있지만 각 행에는 같은 숫자인 210이 있습니다. 이 숫자가 주어진 숫자에 대한 최소 공배수입니다.

수열의 최소 공배수를 계산하는 가장 간단한 방법을 살펴보았습니다. 다른 특수 알고리즘이 있으며 계산 프로세스에 약간의 차이가 있을 수 있지만 계산 결과는 동일합니다. 또한 이제 번거로운 자체 계산 없이 최소 공배수(LCM)를 찾을 수 있는 수많은 온라인 계산기를 인터넷에서 찾을 수 있습니다.