უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) არის მათემატიკური მაჩვენებელი, რომელიც მოსწავლემ უნდა იცოდეს წილადებთან ეფექტურად მუშაობისთვის. NOC ისწავლება როგორც საშუალო სკოლის სასწავლო გეგმის ნაწილი და, მიუხედავად მასალის აშკარა სირთულისა, ეს თემა პრობლემას არ შეუქმნის მოსწავლეს, რომელმაც იცის გამრავლების ცხრილი და იცის როგორ იმუშაოს ხარისხებთან.
LCM განმარტება
სანამ LCM-ის გაცნობას დავიწყებდეთ, საჭიროა გავიგოთ მისი უფრო ფართო კონცეფცია - ჩვენ ვსაუბრობთ ტერმინის „საერთო ჯერადი“ განმარტებაზე და მის როლზე პრაქტიკულ გამოთვლებში.
რამდენიმე რიცხვის საერთო ჯერადი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც შეიძლება გაიყოს თითოეულ ამ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მთელი რიცხვების რიგის საერთო ჯერადი არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემულ სერიების თითოეულ რიცხვზე.
ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ მთელი რიცხვების საერთო ჯერადებზე, რომელთაგან არცერთი არ უდრის ნულს.
რაც შეეხება ნატურალური რიცხვების რაოდენობას, რომელთა მიმართაც შეგვიძლია გამოვიყენოთ "საერთო ჯერადი" ცნება, მაშინ შეიძლება იყოს ორი, სამი, ოთხი ან მეტი მათგანი სერიაში.
საერთო ჯერადებიდან ყველაზე პოპულარული არის უმცირესი საერთო ჯერადი - LCM არის სერიის ყველა რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი დადებითი მნიშვნელობა.
NOC მაგალითები
უმცირესი საერთო ჯერადის განსაზღვრებიდან და მისი მათემატიკური არსიდან გამომდინარეობს, რომ რამდენიმე რიცხვს ყოველთვის აქვს LCM.
უმცირესი საერთო ჯერადობის უმოკლესი ფორმაა:
- a1, a2, ..., ak LCM ფორმის (a1, a2, ..., ak).
გარდა ამისა, ზოგიერთ წყაროში შეგიძლიათ იპოვოთ წერის შემდეგი ფორმა:
- a1, a2, ..., ak ფორმის [a1, a2, ..., ak].
მაგალითის საჩვენებლად, ავიღოთ ორი მთელი რიცხვის LCM: 4 და 5. მიღებული გამონათქვამი ასე გამოიყურება:
- LCM(4, 5) = 20.
თუ LCM-ს ავიღებთ შემდეგი ოთხი რიცხვისთვის: 3, −9, 5, −15, მივიღებთ აღნიშვნას:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
უმარტივესი წერის მაგალითებიც კი გვიჩვენებს, რომ რიცხვების ჯგუფისთვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა ადვილი არ არის და მისი პოვნის პროცესი შეიძლება საკმაოდ რთული იყოს. არსებობს სპეციალური ალგორითმები და ტექნიკა, რომლებიც აქტიურად გამოიყენება უმცირესი საერთო ჯერადის გამოთვლისას.
როგორ არის დაკავშირებული LCM და GCD
მათემატიკურ გამოთვლებში ცნობილი მნიშვნელობა, რომელსაც უწოდებენ უმცირეს საერთო გამყოფს (შემდგომში GCD), ასოცირდება LCM-თან შემდეგი თეორემის მეშვეობით: „ორი დადებითი მთელი რიცხვის a და b უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) უდრის a და b რიცხვების ნამრავლი გაყოფილი a და b-ის უდიდეს საერთო გამყოფზე (gcd).
შეგიძლიათ აღწეროთ ეს თეორემა მათემატიკური გამოხატვის გამოყენებით შემდეგნაირად:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
ამ თეორემის დასადასტურებლად წარმოგიდგენთ მათემატიკურ კვლევას.
ვთქვათ m არის a და b-ის გარკვეული ჯერადი. შესაბამისად, m იყოფა a-ზე და გაყოფის განმარტებით არის გარკვეული მთელი რიცხვი k, რომლითაც შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა:
- m = a ⋅ k.
მაგრამ, ჩვენ ასევე ვიცით, რომ m ასევე იყოფა b-ზე, ამიტომ a ⋅ k ასევე იყოფა b-ზე.
ჩვენ გამოვიყენებთ d სიმბოლოს GCD (a, b) გამოხატვის აღსანიშნავად. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ თანასწორობა გამონათქვამების გამოყენებით:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
აქ:
- a1 = a / d,
- b1 = b/d,
სადაც a1 და b1 შედარებით მარტივი რიცხვებია.
ზემოთ მიღებული პირობა, რომ a ⋅ k იყოფა b-ზე, გვაძლევს საშუალებას დავწეროთ შემდეგი გამონათქვამი: a1 ⋅ d ⋅ k იყოფა b1 ⋅ d-ზე და ეს, გაყოფადობის თვისებების შესაბამისად, უდრის პირობა, რომ a1 ⋅ k იყოფა b1-ზე .
მაშასადამე, თანაპირდაპირი რიცხვების თვისებების მიხედვით, ვინაიდან a1 ⋅ k იყოფა b1-ზე, ხოლო a1 არ იყოფა b1-ზე (a1 და b1 არის თანაპირდაპირი რიცხვები), მაშინ k უნდა გაიყოს b1-ზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გვქონდეს გარკვეული რიცხვი t, რომლისთვისაც გამოთქმა მართალია:
- k = b1 ⋅ t,
და მას შემდეგ
- b1 = b/d,
მაშინ:
- k = b / d ⋅ t.
გამონათქვამში ჩანაცვლება
- m = a ⋅ k
k-ის ნაცვლად მისი გამოხატულებაა b / d ⋅ t, მივდივართ საბოლოო ტოლობამდე:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
მაშ, მივიღეთ ტოლობა, რომელიც განსაზღვრავს a და b-ის ყველა საერთო ჯერადის ფორმას. ვინაიდან a და b არის დადებითი რიცხვები პირობით, მაშინ t = 1-ისთვის მივიღებთ მათ უმცირეს დადებით საერთო ჯერადს, რომელიც უდრის a ⋅ b / d.
ამგვარად, ჩვენ დავამტკიცეთ ეს
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
LCM-თან დაკავშირებული ძირითადი დებულებებისა და წესების ცოდნა დაგეხმარებათ უკეთ გაიგოთ მისი პრაქტიკული მნიშვნელობა მათემატიკაში და ასევე საშუალებას გაძლევთ აქტიურად გამოიყენოთ იგი, როგორც გამოყენებითი ერთეული გამოთვლებში, რომლებშიც LCM მნიშვნელობის ცოდნა წინაპირობაა.
