最小公倍数 (LCM) は、分数を効果的に扱うために学生が知っておく必要がある数学的指標です。 NOC は中等学校のカリキュラムの一部として学習されており、内容は明らかに複雑ですが、九九を理解し、学位の扱い方を知っている生徒にとって、このトピックは問題を引き起こすことはありません。
LCM の定義
LCM について理解する前に、そのより広い概念を理解する必要があります。ここでは「公倍数」という用語の定義と、実際の計算におけるその役割について説明します。
複数の数値の公倍数は、剰余なしでこれらの各数値で割ることができる自然数です。 つまり、一連の整数の公倍数とは、指定された一連の各数値で割り切れる整数のことです。
この例では、ゼロに等しくない整数の公倍数に焦点を当てます。
自然数の数に関しては、「公倍数」の概念を適用でき、2 つ、3 つ、4 つ以上の自然数が連続して存在する可能性があります。
公倍数の中で最も一般的なのは最小公倍数です。最小公倍数は、系列内のすべての数値の最小公倍数の正の値です。
NOC の例
最小公倍数の定義とその数学的本質から、いくつかの数値には常に最小公倍数があることがわかります。
最小公倍数の最短形式は次のとおりです。
- LCM (a1, a2, ..., ak) 形式の a1、a2、...、ak。
さらに、一部の情報源では、次のような記述形式が見られます。
- [a1, a2, ..., ak] 形式の a1, a2, ..., ak。
例を示すために、2 つの整数 4 と 5 の最小公倍数を考えてみましょう。結果の式は次のようになります。
- LCM(4, 5) = 20。
次の 4 つの数値 3、−9、5、−15 の最小公倍数を取得すると、次の表記が得られます。
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45。
最も単純な記述例でさえ、数値グループの最小公倍数を見つけるのは決して簡単ではなく、それを見つけるプロセスが非常に複雑になる可能性があることを示しています。 最小公倍数を計算するときに積極的に使用される特別なアルゴリズムとテクニックがあります。
LCM と GCD の関係
最小公倍数 (以下、GCD と呼びます) と呼ばれる数学的計算で知られる値は、次の定理によって LCM と関連付けられます。「2 つの正の整数 a と b の最小公倍数 (LCM) は次の値に等しい」数値 a と b の積を a と b の最大公約数 (gcd) で割った値。
この定理は、次のように数式を使用して説明できます。
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)。
この定理の証明として、いくつかの数学的研究を紹介します。
m が a と b の特定の倍数だとしましょう。 したがって、m は a で割り切れます。また、割り算の定義により、整数 k が存在し、これを使って等式を書くことができます。
- m = a ⋅ k。
しかし、m も b で割り切れることもわかっているため、a ⋅ k も b で割り切れます。
式 GCD (a, b) を表すために記号 d を使用します。 したがって、式を使用して等価性を記述することができます。
- a = a1 ⋅ d、
- b = b1 ⋅ d.
こちら:
- a1 = a / d、
- b1 = b / d、
ここで、a1 と b1 は互いに素な数です。
a ⋅ k が b で割り切れるという上記で得られた条件により、次の式を書くことができます: a1 ⋅ d ⋅ k は b1 ⋅ d で割り切れます。これは、割り算の性質に従って、 a1 ⋅ k が b1 で割り切れるという条件。
したがって、共素数の性質によれば、a1 ⋅ k は b1 で割り切れるが、a1 は b1 で割り切れない (a1 と b1 は互いに素な数である) ため、k は b1 で割り切れなければなりません。 この場合、式が true となる整数 t が必要です。
- k = b1 ⋅ t、
それ以来
- b1 = b / d、
その後:
- k = b / d ⋅ t。
式への代入
- m = a ⋅ k
k の代わりにその式は b / d ⋅ t となり、最終的な等式に到達します。
- m = a ⋅ b / d ⋅ t。
これで、a と b のすべての公倍数の形式を指定する等式が得られました。 条件により、a と b は正の数であるため、t = 1 の場合、それらの最小の正の公倍数が得られ、これは a ⋅ b / d に等しくなります。
したがって、私たちは次のことを証明しました。
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b)。
LCM に関連する基本的な規定と規則を知ることは、数学におけるその実際的な重要性をより深く理解するのに役立ちます。また、LCM 値の知識が前提条件となる計算の応用単位として LCM を積極的に使用することもできます。
