Il minimo comune multiplo (LCM) è un indicatore matematico che uno studente deve conoscere per lavorare efficacemente con le frazioni. Il NOC è studiato come parte del curriculum della scuola secondaria e, nonostante l'apparente complessità del materiale, questo argomento non causerà problemi a uno studente che conosce la tavola pitagorica e sa come lavorare con i diplomi.
Definizione LCM
Prima di iniziare a familiarizzare con l'LCM, è necessario comprendere il suo concetto più ampio: stiamo parlando della definizione del termine "multiplo comune" e del suo ruolo nei calcoli pratici.
Un multiplo comune di più numeri è un numero naturale che può essere diviso per ciascuno di questi numeri senza resto. In altre parole, un multiplo comune di una serie di numeri interi è qualsiasi numero intero divisibile per ciascuno dei numeri nella serie data.
Nel nostro caso, ci concentreremo sui multipli comuni di numeri interi, nessuno dei quali è uguale a zero.
Per quanto riguarda il numero di numeri naturali, in relazione al quale possiamo applicare il concetto di "multiplo comune", allora possono essercene due, tre, quattro o più in una serie.
Il più comune dei multipli comuni è il minimo comune multiplo: il MCM è il valore positivo del più piccolo multiplo comune di tutti i numeri della serie.
Esempi NOC
Dalla definizione del minimo comune multiplo e dalla sua essenza matematica, segue che più numeri hanno sempre un MCM.
La forma più breve per il minimo comune multiplo è:
- a1, a2, ..., ak della forma LCM (a1, a2, ..., ak).
Inoltre, in alcune fonti puoi trovare la seguente forma di scrittura:
- a1, a2, ..., ak della forma [a1, a2, ..., ak].
Per dimostrare un esempio, prendiamo l'LCM di due numeri interi: 4 e 5. L'espressione risultante sarà simile a questa:
- MCM(4, 5) = 20.
Se prendiamo il MCM per i seguenti quattro numeri: 3, −9, 5, −15, otteniamo la notazione:
- MCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Anche gli esempi di scrittura più semplici mostrano che trovare il minimo comune multiplo per un gruppo di numeri è tutt'altro che facile e il processo per trovarlo può essere piuttosto complicato. Esistono algoritmi e tecniche speciali che vengono utilizzati attivamente durante il calcolo del minimo comune multiplo.
Come sono correlati LCM e MCD
Un valore noto nei calcoli matematici, chiamato minimo comune divisore (di seguito MCD), è associato a MCM tramite il seguente teorema: “il minimo comune multiplo (MCM) di due interi positivi a e b è uguale a il prodotto dei numeri a e b diviso per al massimo comune divisore (mcd) di a e b".
Puoi descrivere questo teorema usando un'espressione matematica come segue:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / MCD (a, b).
A riprova di questo teorema, presentiamo alcune ricerche matematiche.
Diciamo che m è un certo multiplo di a e b. Di conseguenza, m è divisibile per a e, per definizione di divisibilità, esiste un numero intero k, con il quale possiamo scrivere l'uguaglianza:
- m = a ⋅ k.
Ma sappiamo anche che m è anche divisibile per b, quindi anche a ⋅ k è divisibile per b.
Useremo il simbolo d per denotare l'espressione MCD (a, b). Quindi possiamo scrivere l'uguaglianza usando le espressioni:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Qui:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
dove a1 e b1 sono numeri primi tra loro.
La condizione ottenuta sopra che a ⋅ k sia divisibile per b ci permette di scrivere la seguente espressione: a1 ⋅ d ⋅ k è divisibile per b1 ⋅ d, e questo, in accordo con le proprietà di divisibilità, è equivalente alla condizione che a1 ⋅ k sia divisibile per b1 .
Pertanto, secondo le proprietà dei numeri coprimi, poiché a1 ⋅ k è divisibile per b1, e a1 non è divisibile per b1 (a1 e b1 sono numeri coprimi), allora k deve essere divisibile per b1. In questo caso, dobbiamo avere qualche intero t per il quale l'espressione è vera:
- k = b1 ⋅ t,
e da allora
- b1 = b / d,
allora:
- k = b / d ⋅ t.
Sostituzione nell'espressione
- m = a⋅k
invece di k la sua espressione è b / d ⋅ t, arriviamo all'uguaglianza finale:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Quindi abbiamo un'uguaglianza che specifica la forma di tutti i multipli comuni di a e b. Poiché a e b sono numeri positivi per la condizione, allora per t = 1 otteniamo il loro minimo comune multiplo positivo, che è uguale a a ⋅ b / d.
Quindi, lo abbiamo dimostrato
- LCD (a, b) = a ⋅ b / MCD (a, b).
Conoscere le disposizioni e le regole di base associate a LCM aiuta a comprendere meglio il suo significato pratico in matematica e consente inoltre di utilizzarlo attivamente come unità applicata nei calcoli in cui la conoscenza del valore LCM è un prerequisito.
