Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) adalah indikator matematika yang perlu diketahui siswa agar dapat mengerjakan pecahan secara efektif. NOC dipelajari sebagai bagian dari kurikulum sekolah menengah, dan meskipun materinya terlihat rumit, topik ini tidak akan menimbulkan masalah bagi siswa yang mengetahui tabel perkalian dan mengetahui cara bekerja dengan derajat.
Definisi LCM
Sebelum mulai mengenal KPK, penting untuk memahami konsepnya yang lebih luas - kita berbicara tentang definisi istilah "kelipatan persekutuan" dan perannya dalam perhitungan praktis.
Kelipatan persekutuan dari beberapa bilangan adalah bilangan asli yang dapat dibagi dengan setiap bilangan tersebut tanpa sisa. Dengan kata lain, kelipatan persekutuan dari deret bilangan bulat adalah bilangan bulat apa pun yang habis dibagi oleh setiap bilangan dalam deret tersebut.
Dalam kasus kita, kita akan fokus pada kelipatan umum bilangan bulat, tidak ada yang sama dengan nol.
Adapun jumlah bilangan asli, dalam hubungannya dengan konsep "kelipatan persekutuan", maka bisa ada dua, tiga, empat atau lebih dalam satu deret.
Kelipatan persekutuan yang paling populer adalah kelipatan persekutuan terkecil - KPK adalah nilai positif dari kelipatan persekutuan terkecil dari semua angka dalam deret.
Contoh NOC
Dari definisi kelipatan persekutuan terkecil dan esensi matematisnya, dapat disimpulkan bahwa beberapa bilangan selalu memiliki KPK.
Bentuk terpendek untuk kelipatan persekutuan terkecil adalah:
- a1, a2, ..., ak dalam bentuk LCM (a1, a2, ..., ak).
Selain itu, di beberapa sumber Anda dapat menemukan bentuk tulisan berikut:
- a1, a2, ..., ak dalam bentuk [a1, a2, ..., ak].
Untuk mendemonstrasikan contoh, mari kita ambil LCM dari dua bilangan bulat: 4 dan 5. Ekspresi yang dihasilkan akan terlihat seperti ini:
- LCM(4, 5) = 20.
Jika kita menggunakan KPK untuk empat bilangan berikut: 3, −9, 5, −15, kita mendapatkan notasi:
- KPK(3, −9, 5, −15) = 45.
Bahkan contoh penulisan yang paling sederhana pun menunjukkan bahwa menemukan kelipatan persekutuan terkecil untuk sekelompok angka bukanlah hal yang mudah, dan proses untuk menemukannya bisa sangat rumit. Ada algoritme dan teknik khusus yang digunakan secara aktif saat menghitung kelipatan persekutuan terkecil.
Bagaimana LCM dan GCD terkait
Suatu nilai yang diketahui dalam perhitungan matematis, disebut pembagi persekutuan terkecil (selanjutnya disebut GCD), dikaitkan dengan KPK melalui teorema berikut: “kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali angka a dan b dibagi dengan faktor persekutuan terbesar (pbk) dari a dan b".
Anda dapat mendeskripsikan teorema ini menggunakan ekspresi matematika sebagai berikut:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Sebagai bukti teorema ini, kami menyajikan beberapa penelitian matematika.
Misalkan m adalah kelipatan tertentu dari a dan b. Dengan demikian, m habis dibagi a, dan, menurut definisi keterbagian, ada beberapa bilangan bulat k, yang dengannya kita dapat menulis persamaan:
- m = a ⋅ k.
Namun, kita juga tahu bahwa m juga habis dibagi b, jadi a ⋅ k juga habis dibagi b.
Kita akan menggunakan simbol d untuk menunjukkan ekspresi GCD (a, b). Jadi kita bisa menulis kesetaraan menggunakan ekspresi:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Di sini:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
di mana a1 dan b1 adalah bilangan prima yang relatif.
Kondisi yang diperoleh di atas bahwa a ⋅ k habis dibagi b memungkinkan kita untuk menulis ekspresi berikut: a1 ⋅ d ⋅ k habis dibagi b1 ⋅ d, dan ini, sesuai dengan sifat-sifat yang dapat dibagi, setara dengan syarat a1 ⋅ k habis dibagi b1 .
Oleh karena itu, berdasarkan sifat-sifat bilangan koprima, karena a1 ⋅ k habis dibagi b1, dan a1 tidak habis dibagi b1 (a1 dan b1 adalah bilangan koprima), maka k harus habis dibagi b1. Dalam hal ini, kita harus memiliki bilangan bulat t yang ekspresinya benar:
- k = b1 ⋅ t,
dan sejak
- b1 = b / d,
kemudian:
- k = b / d ⋅ t.
Mengganti ke dalam ekspresi
- m = a ⋅ k
alih-alih k ekspresinya adalah b / d ⋅ t, kita sampai pada persamaan akhir:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Jadi kita mendapatkan persamaan yang menentukan bentuk dari semua kelipatan persekutuan dari a dan b. Karena a dan b adalah bilangan positif dengan syarat, maka untuk t = 1 kita mendapatkan kelipatan persekutuan positif terkecilnya, yaitu sama dengan a ⋅ b / d.
Jadi, kami telah membuktikannya
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Mengetahui ketentuan dan aturan dasar yang terkait dengan KPK membantu untuk lebih memahami signifikansi praktisnya dalam matematika, dan juga memungkinkan Anda untuk menggunakannya secara aktif sebagai unit terapan dalam penghitungan yang memerlukan pengetahuan tentang nilai KPK.
