A legkisebb közös többszörös (LCM) egy matematikai mutató, amelyet a tanulónak ismernie kell ahhoz, hogy hatékonyan dolgozhasson a törtekkel. A NOC-t a középiskolai tanterv részeként tanulják, és a tananyag látszólagos összetettsége ellenére ez a téma nem okoz problémát a szorzótáblát ismerő és a diplomával dolgozni tudó tanulónak.
LCM definíció
Mielőtt az LCM-mel megismerkednénk, meg kell értenünk annak tágabb fogalmát – a „közös többszörös” fogalom meghatározásáról és a gyakorlati számításokban betöltött szerepéről beszélünk.
Több szám közös többszöröse egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható ezekkel a számokkal. Más szóval, egész számok sorozatának közös többszöröse minden olyan egész szám, amely osztható az adott sorozat minden számával.
A mi esetünkben az egész számok közös többszöröseire összpontosítunk, amelyek közül egyik sem egyenlő nullával.
Ami a természetes számok számát illeti, amelyekre vonatkoztatva alkalmazhatjuk a "közös többszörös" fogalmát, akkor egy sorozatban kettő, három, négy vagy több is lehet.
A közös többszörösek közül a legnépszerűbb a legkisebb közös többszörös – az LCM a sorozatban szereplő összes szám legkisebb közös többszörösének pozitív értéke.
NOC-példák
A legkisebb közös többszörös definíciójából és annak matematikai lényegéből az következik, hogy több számnak mindig van LCM-je.
A legkisebb közös többszörös legrövidebb formája:
- a1, a2, ..., ak LCM formájú (a1, a2, ..., ak).
Emellett egyes forrásokban a következő írási formák is megtalálhatók:
- a1, a2, ..., ak [a1, a2, ..., ak] alakú.
Egy példa bemutatásához vegyük két egész szám LCM-jét: 4 és 5. Az eredményül kapott kifejezés így fog kinézni:
- LCM(4, 5) = 20.
Ha a következő négy számra vesszük az LCM-et: 3, −9, 5, −15, akkor a következő jelölést kapjuk:
- LCM(3; -9; 5; -15) = 45.
Még a legegyszerűbb írási példák is azt mutatják, hogy egy számcsoport legkisebb közös többszörösének megtalálása korántsem egyszerű, és a keresési folyamat meglehetősen bonyolult lehet. Vannak speciális algoritmusok és technikák, amelyeket aktívan használnak a legkisebb közös többszörös kiszámításakor.
Az LCM és a GCD kapcsolata
A matematikai számításokban ismert érték, az úgynevezett legkisebb közös osztó (a továbbiakban: GCD), a következő tételen keresztül kapcsolódik az LCM-hez: „két a és b pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse (LCM) egyenlő az a és b szám szorzata osztva a és b legnagyobb közös osztójával (gcd).
Ezt a tételt a következő matematikai kifejezéssel írhatja le:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Ennek a tételnek a bizonyítására néhány matematikai kutatást mutatunk be.
Tegyük fel, hogy m a és b bizonyos többszöröse. Ennek megfelelően m osztható a-val, és az oszthatóság definíciója szerint van valami k egész szám, amellyel felírhatjuk az egyenlőséget:
- m = a ⋅ k.
De azt is tudjuk, hogy m is osztható b-vel, tehát a ⋅ k is osztható b-vel.
A d szimbólumot fogjuk használni a GCD (a, b) kifejezés jelölésére. Tehát egyenlőséget írhatunk a következő kifejezésekkel:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Itt:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
ahol a1 és b1 viszonylag prímszámok.
A fent kapott feltétel, hogy a ⋅ k osztható b-vel, lehetővé teszi a következő kifejezés felírását: a1 ⋅ d ⋅ k osztható b1 ⋅ d-vel, és ez az oszthatóság tulajdonságainak megfelelően ekvivalens feltétele, hogy a1 ⋅ k osztható b1 -gyel.
Tehát a koprímszámok tulajdonságai szerint, mivel a1 ⋅ k osztható b1-gyel, a1 pedig nem osztható b1-gyel (a1 és b1 koprímszámok), ezért k-nek oszthatónak kell lennie b1-gyel. Ebben az esetben rendelkeznünk kell valamilyen t egész számmal, amelyre a kifejezés igaz:
- k = b1 ⋅ t,
és azóta
- b1 = b / d,
akkor:
- k = b / d ⋅ t.
Behelyettesítés a kifejezésbe
- m = a ⋅ k
k helyett a kifejezése b / d ⋅ t, így a végső egyenlőséghez jutunk:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Tehát kaptunk egy egyenlőséget, amely megadja a és b összes közös többszörösének alakját. Mivel a és b pozitív számok a feltétel alapján, akkor t = 1 esetén megkapjuk a legkisebb pozitív közös többszörösüket, amely egyenlő a ⋅ b / d-vel.
Így ezt bebizonyítottuk
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Az LCM-hez kapcsolódó alapvető rendelkezések és szabályok ismerete segít jobban megérteni gyakorlati jelentőségét a matematikában, és lehetővé teszi, hogy aktívan használhassa alkalmazott egységként olyan számításokban, amelyeknél az LCM érték ismerete előfeltétel.
