Najmanji zajednički višekratnik (LCM) matematički je pokazatelj koji učenik mora znati kako bi učinkovito radio s razlomcima. NOK se proučava kao dio srednjoškolskog kurikuluma i, unatoč prividnoj složenosti gradiva, ova tema neće stvarati probleme učeniku koji poznaje tablicu množenja i zna raditi s diplomama.
LCM definicija
Prije početka upoznavanja s LCM-om potrebno je razumjeti njegov širi koncept - govorimo o definiciji pojma "zajednički višekratnik" i njegovoj ulozi u praktičnim proračunima.
Zajednički višekratnik više brojeva prirodan je broj koji se može podijeliti sa svakim od tih brojeva bez ostatka. Drugim riječima, zajednički višekratnik niza cijelih brojeva je svaki cijeli broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva u danom nizu.
U našem slučaju, usredotočit ćemo se na zajedničke višekratnike cijelih brojeva, od kojih nijedan nije jednak nuli.
Što se tiče broja prirodnih brojeva, u odnosu na koje možemo primijeniti koncept "zajedničkog višekratnika", onda ih u nizu mogu biti dva, tri, četiri ili više.
Najpopularniji zajednički višekratnik je najmanji zajednički višekratnik - LCM je pozitivna vrijednost najmanjeg zajedničkog višekratnika svih brojeva u nizu.
Primjeri NOC-a
Iz definicije najmanjeg zajedničkog višekratnika i njegove matematičke suštine proizlazi da nekoliko brojeva uvijek ima LCM.
Najkraći oblik za najmanji zajednički višekratnik je:
- a1, a2, ..., ak oblika LCM (a1, a2, ..., ak).
Osim toga, u nekim izvorima možete pronaći sljedeći oblik pisanja:
- a1, a2, ..., ak u obliku [a1, a2, ..., ak].
Za demonstraciju primjera, uzmimo LCM dva cijela broja: 4 i 5. Rezultirajući izraz izgledat će ovako:
- LCM(4, 5) = 20.
Ako uzmemo LCM za sljedeća četiri broja: 3, −9, 5, −15, dobit ćemo zapis:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Čak i najjednostavniji primjeri pisanja pokazuju da je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika za skupinu brojeva daleko od lakog, a proces njegovog pronalaženja može biti prilično kompliciran. Postoje posebni algoritmi i tehnike koje se aktivno koriste pri izračunavanju najmanjeg zajedničkog višekratnika.
Kako su LCM i GCD povezani
Vrijednost poznata u matematičkim izračunima, nazvana najmanji zajednički djelitelj (u daljnjem tekstu GCD), povezana je s LCM kroz sljedeći teorem: "najmanji zajednički višekratnik (LCM) dvaju pozitivnih cijelih brojeva a i b jednak je umnožak brojeva a i b podijeljen s najvećim zajedničkim djeliteljem (gcd) a i b".
Ovaj teorem možete opisati pomoću matematičkog izraza na sljedeći način:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Kao dokaz ove teoreme, predstavljamo neka matematička istraživanja.
Recimo da je m određeni višekratnik a i b. Prema tome, m je djeljiv s a, a po definiciji djeljivosti postoji neki cijeli broj k, kojim možemo napisati jednakost:
- m = a ⋅ k.
Ali, također znamo da je m također djeljiv s b, tako da je a ⋅ k također djeljiv s b.
Koristit ćemo simbol d za označavanje izraza GCD (a, b). Dakle, jednakost možemo napisati pomoću izraza:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Ovdje:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
gdje su a1 i b1 relativno prosti brojevi.
Gore dobiveni uvjet da je a ⋅ k djeljiv s b omogućuje nam da napišemo sljedeći izraz: a1 ⋅ d ⋅ k je djeljiv s b1 ⋅ d, a to je, u skladu sa svojstvima djeljivosti, ekvivalentno uvjet da je a1 ⋅ k djeljiv s b1 .
Stoga, prema svojstvima međusobno prostih brojeva, budući da je a1 ⋅ k djeljiv s b1, a a1 nije djeljiv s b1 (a1 i b1 su međusobno prosti brojevi), tada k mora biti djeljiv s b1. U ovom slučaju, moramo imati neki cijeli broj t za koji je izraz istinit:
- k = b1 ⋅ t,
i od
- b1 = b / d,
zatim:
- k = b / d ⋅ t.
Zamjena u izraz
- m = a ⋅ k
umjesto k njegov izraz je b / d ⋅ t, dolazimo do konačne jednakosti:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Dakle, dobili smo jednakost koja specificira oblik svih zajedničkih višekratnika a i b. Kako su a i b prema uvjetu pozitivni brojevi, tada za t = 1 dobivamo njihov najmanji pozitivni zajednički višekratnik, koji je jednak a ⋅ b / d.
Dakle, to smo dokazali
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Poznavanje osnovnih odredbi i pravila povezanih s LCM-om pomaže boljem razumijevanju njegovog praktičnog značaja u matematici, a također vam omogućuje da ga aktivno koristite kao primijenjenu jedinicu u izračunima u kojima je poznavanje vrijednosti LCM-a preduvjet.
