LCM कैलकुलेटर

लघुतम समापवर्तक (LCM) एक गणितीय संकेतक है जिसे एक छात्र को भिन्नों के साथ प्रभावी ढंग से काम करने के लिए जानना आवश्यक है। एनओसी का अध्ययन माध्यमिक विद्यालय के पाठ्यक्रम के हिस्से के रूप में किया जाता है, और सामग्री की स्पष्ट जटिलता के बावजूद, यह विषय उस छात्र के लिए समस्या पैदा नहीं करेगा जो गुणा तालिका जानता है और डिग्री के साथ काम करना जानता है।

LCM परिभाषा

लघुतम समापवर्त्य से परिचित होना शुरू करने से पहले, इसकी व्यापक अवधारणा को समझना आवश्यक है - हम "कॉमन मल्टीपल" शब्द की परिभाषा और व्यावहारिक गणना में इसकी भूमिका के बारे में बात कर रहे हैं।

कई संख्याओं का एक सामान्य गुणक एक प्राकृतिक संख्या है जिसे इनमें से प्रत्येक संख्या द्वारा बिना शेषफल के विभाजित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, पूर्णांकों की किसी श्रृंखला का सार्व गुणज कोई भी पूर्णांक होता है जो दी गई श्रृंखला की प्रत्येक संख्या से विभाज्य होता है।

हमारे मामले में, हम पूर्णांकों के सामान्य गुणकों पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जिनमें से कोई भी शून्य के बराबर नहीं है।

प्राकृतिक संख्याओं की संख्या के संबंध में, जिसके संबंध में हम "सामान्य बहु" की अवधारणा को लागू कर सकते हैं, तो एक श्रृंखला में उनमें से दो, तीन, चार या अधिक हो सकते हैं।

सामान्य गुणजों में सबसे लोकप्रिय लघुत्तम समापवर्त्य है - LCM श्रृंखला में सभी संख्याओं के सबसे छोटे समापवर्त्य का धनात्मक मान है।

एनओसी के उदाहरण

लघुतम समापवर्तक की परिभाषा और इसके गणितीय सार से, यह पता चलता है कि कई संख्याओं में हमेशा एक लघुत्तम समापवर्तक होता है।

लघुतम समापवर्त्य का सबसे छोटा रूप है:

• a1, a2, ..., ak LCM (a1, a2, ..., ak) के रूप में।

इसके अलावा, कुछ स्रोतों में आप लेखन के निम्न रूप पा सकते हैं:

• a1, a2, ..., ak [a1, a2, ..., ak] के रूप में।

एक उदाहरण प्रदर्शित करने के लिए, दो पूर्णांकों का LCM लेते हैं: 4 और 5। परिणामी अभिव्यक्ति इस तरह दिखाई देगी:

• LCM(4, 5) = 20।

यदि हम निम्नलिखित चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य लेते हैं: 3, -9, 5, -15, तो हमें अंकन प्राप्त होता है:

• LCM(3, -9, 5, -15) = 45।

यहां तक ​​​​कि सरलतम लेखन उदाहरण भी दिखाते हैं कि संख्याओं के समूह के लिए सबसे कम सामान्य गुणक खोजना आसान नहीं है, और इसे खोजने की प्रक्रिया काफी जटिल हो सकती है। ऐसे विशेष एल्गोरिदम और तकनीकें हैं जिनका सक्रिय रूप से लघुतम समापवर्तक की गणना करते समय उपयोग किया जाता है।

LCM और GCD कैसे संबंधित हैं

गणितीय गणनाओं में ज्ञात एक मान, जिसे सबसे कम सामान्य विभाजक कहा जाता है (इसके बाद GCD के रूप में संदर्भित), निम्न प्रमेय के माध्यम से LCM से जुड़ा है: "दो सकारात्मक पूर्णांक a और b का कम से कम सामान्य गुणक (LCM) बराबर है संख्याओं a और b के गुणनफल को a और b के महत्तम समापवर्तक (gcd) से विभाजित किया जाता है।

आप गणितीय अभिव्यक्ति का उपयोग करके इस प्रमेय का वर्णन इस प्रकार कर सकते हैं:

• एलसीडी (ए, बी) = ए ⋅ बी / जीसीडी (ए, बी)।

इस प्रमेय के प्रमाण के रूप में, हम कुछ गणितीय शोध प्रस्तुत करते हैं।

मान लें कि m, a और b का एक गुणज है। तदनुसार, m, a से विभाज्य है, और, विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k है, जिसके साथ हम समानता लिख ​​सकते हैं:

• m = a ⋅ k.

लेकिन, हम यह भी जानते हैं कि m भी b से विभाज्य है, इसलिए a ⋅ k भी b से विभाज्य है।

हम अभिव्यक्ति GCD (a, b) को निरूपित करने के लिए प्रतीक d का उपयोग करेंगे। अतः हम व्यंजकों का उपयोग करके समानता लिख ​​सकते हैं:

• a = a1 ⋅ d,
• b = b1 ⋅ d.

यहाँ:

• a1 = a / d,
• b1 = b / d,

जहाँ a1 और b1 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं।

ऊपर प्राप्त शर्त यह है कि a ⋅ k, b से विभाज्य है, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिखने की अनुमति देता है: a1 ⋅ d ⋅ k, b1 ⋅ d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के अनुसार, के समतुल्य है शर्त यह है कि a1 ⋅ k, b1 से विभाज्य है।

इसलिए, सहअभाज्य संख्याओं के गुणों के अनुसार, चूँकि a1 ⋅ k, b1 से विभाज्य है, और a1, b1 से विभाज्य नहीं है (a1 और b1 सहअभाज्य संख्याएँ हैं), तो k को b1 से विभाज्य होना चाहिए। इस स्थिति में, हमारे पास कुछ पूर्णांक t होना चाहिए जिसके लिए व्यंजक सत्य हो:

• k = b1 ⋅ t,

और उसके बाद से

• b1 = b / d,

तब:

• के = बी / डी ⋅ टी।

अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापन

• m = a ⋅ k

k के बजाय इसकी अभिव्यक्ति b / d ⋅ t है, हम अंतिम समानता पर पहुंचते हैं:

• m = a ⋅ b / d ⋅ t.

इसलिए हमें एक समानता मिली जो a और b के सभी सामान्य गुणजों के रूप को निर्दिष्ट करती है। चूँकि स्थिति के अनुसार a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, तो t = 1 के लिए हमें उनका लघुत्तम धनात्मक समापवर्त्य प्राप्त होता है, जो a ⋅ b / d के बराबर है।

इस प्रकार, हमने यह साबित कर दिया है

• एलसीडी (ए, बी) = ए ⋅ बी / जीसीडी (ए, बी)।

एलसीएम से जुड़े बुनियादी प्रावधानों और नियमों को जानने से गणित में इसके व्यावहारिक महत्व को बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलती है, और आपको इसे गणनाओं में एक लागू इकाई के रूप में सक्रिय रूप से उपयोग करने की अनुमति भी मिलती है जिसमें एलसीएम मूल्य का ज्ञान एक शर्त है।