Le plus petit commun multiple (LCM) est un indicateur mathématique qu'un élève doit connaître pour travailler efficacement avec les fractions. NOC est étudié dans le cadre du programme d'études du secondaire et, malgré l'apparente complexité de la matière, ce sujet ne posera pas de problèmes à un élève qui connaît la table de multiplication et sait travailler avec des diplômes.
Définition LCM
Avant de commencer à se familiariser avec le LCM, il est nécessaire de comprendre son concept plus large - nous parlons de la définition du terme "multiple commun" et de son rôle dans les calculs pratiques.
Un multiple commun de plusieurs nombres est un nombre naturel qui peut être divisé par chacun de ces nombres sans reste. En d'autres termes, un multiple commun d'une série d'entiers est tout entier divisible par chacun des nombres de la série donnée.
Dans notre cas, nous allons nous concentrer sur des multiples communs d'entiers, dont aucun n'est égal à zéro.
En ce qui concerne le nombre de nombres naturels, par rapport auxquels nous pouvons appliquer le concept de "multiple commun", alors il peut y en avoir deux, trois, quatre ou plus dans une série.
Le plus populaire des multiples communs est le multiple le moins commun - le PPCM est la valeur positive du plus petit multiple commun de tous les nombres de la série.
Exemples de CNP
De la définition du plus petit commun multiple et de son essence mathématique, il s'ensuit que plusieurs nombres ont toujours un PPCM.
La forme la plus courte pour le plus petit commun multiple est :
- a1, a2, ..., ak de la forme LCM (a1, a2, ..., ak).
De plus, dans certaines sources, vous pouvez trouver la forme d'écriture suivante :
- a1, a2, ..., ak de la forme [a1, a2, ..., ak].
Pour illustrer un exemple, prenons le LCM de deux entiers : 4 et 5. L'expression résultante ressemblera à ceci :
- LCM(4, 5) = 20.
Si nous prenons le LCM pour les quatre nombres suivants : 3, −9, 5, −15, nous obtenons la notation :
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Même les exemples d'écriture les plus simples montrent que trouver le plus petit commun multiple pour un groupe de nombres est loin d'être facile, et le processus pour le trouver peut être assez compliqué. Il existe des algorithmes et des techniques spéciaux qui sont activement utilisés lors du calcul du plus petit commun multiple.
Comment LCM et GCD sont liés
Une valeur connue dans les calculs mathématiques, appelée le plus petit diviseur commun (ci-après dénommé PGCD), est associée à LCM par le théorème suivant : "le plus petit commun multiple (LCM) de deux entiers positifs a et b est égal à le produit des nombres a et b divisé par le plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b".
Vous pouvez décrire ce théorème à l'aide d'une expression mathématique comme suit :
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Comme preuve de ce théorème, nous présentons quelques recherches mathématiques.
Disons que m est un certain multiple de a et b. En conséquence, m est divisible par a, et, par définition de la divisibilité, il existe un entier k, avec lequel on peut écrire l'égalité :
- m = a ⋅ k.
Mais, nous savons aussi que m est aussi divisible par b, donc a ⋅ k est aussi divisible par b.
Nous utiliserons le symbole d pour désigner l'expression PGCD (a, b). Nous pouvons donc écrire l'égalité en utilisant des expressions :
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Ici :
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
où a1 et b1 sont des nombres relativement premiers.
La condition obtenue ci-dessus que a ⋅ k est divisible par b nous permet d'écrire l'expression suivante : a1 ⋅ d ⋅ k est divisible par b1 ⋅ d, et ceci, conformément aux propriétés de divisibilité, équivaut à la condition que a1 ⋅ k soit divisible par b1 .
Par conséquent, selon les propriétés des nombres premiers entre eux, puisque a1 ⋅ k est divisible par b1, et a1 n'est pas divisible par b1 (a1 et b1 sont des nombres premiers), alors k doit être divisible par b1. Dans ce cas, nous devons avoir un entier t pour lequel l'expression est vraie :
- k = b1 ⋅ t,
et depuis
- b1 = b / d,
puis :
- k = b / d ⋅ t.
Substitution dans l'expression
- m = une ⋅ k
au lieu de k son expression est b / d ⋅ t, on arrive à l'égalité finale :
- m = une ⋅ b / ré ⋅ t.
Nous avons donc obtenu une égalité qui spécifie la forme de tous les multiples communs de a et b. Puisque a et b sont des nombres positifs par la condition, alors pour t = 1 nous obtenons leur plus petit multiple commun positif, qui est égal à a ⋅ b / d.
Ainsi, nous avons prouvé que
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Connaître les dispositions et les règles de base associées au LCM aide à mieux comprendre sa signification pratique en mathématiques, et vous permet également de l'utiliser activement comme unité appliquée dans les calculs dans lesquels la connaissance de la valeur du LCM est une condition préalable.
