Pienimmän yhteisen jaettavan laskin
Pienin yhteiskerran (LCM) on matemaattinen indikaattori, joka opiskelijan on tiedettävä voidakseen työskennellä tehokkaasti murtolukujen kanssa. NOC:ta opiskellaan osana toisen asteen opetussuunnitelmaa, eikä tämä aihe aiheuta ongelmia aineiston ilmeisestä monimutkaisuudesta huolimatta kertotaulukon tuntevalle ja tutkintojen kanssa työskentelyä osaavalle opiskelijalle.
LCM-määritelmä
Ennen kuin aloitat tutustumisen LCM:ään, on ymmärrettävä sen laajempi käsite - puhumme termin "yhteinen kerrannainen" määritelmästä ja sen roolista käytännön laskelmissa.
Useiden lukujen yhteinen kerrannainen on luonnollinen luku, joka voidaan jakaa kullakin näistä luvuista ilman jäännöstä. Toisin sanoen kokonaislukusarjan yhteinen kerrannainen on mikä tahansa kokonaisluku, joka on jaollinen annetun sarjan kullakin luvulla.
Tässä tapauksessa keskitymme kokonaislukujen yhteisiin kerrannaisiin, joista mikään ei ole nolla.
Mitä tulee luonnollisten lukujen lukumäärään, johon voidaan soveltaa "yhteisen kerrannaisen" käsitettä, niin niitä voi olla kaksi, kolme, neljä tai useampia sarjassa.
Suosituin yhteisistä kerrannaisista on pienin yhteinen kerrannainen – LCM on sarjan lukujen pienimmän yhteiskerran positiivinen arvo.
NOC-esimerkit
Pienimmän yhteisen kerrannaisen määritelmästä ja sen matemaattisesta olemuksesta seuraa, että useilla luvuilla on aina LCM.
Pienimmän yhteisen kerrannaisen lyhin muoto on:
- a1, a2, ..., ak muotoa LCM (a1, a2, ..., ak).
Lisäksi joistakin lähteistä löytyy seuraava kirjoitusmuoto:
- a1, a2, ..., ak muodossa [a1, a2, ..., ak].
Esimerkin havainnollistamiseksi otamme kahden kokonaisluvun LCM:n: 4 ja 5. Tuloksena oleva lauseke näyttää tältä:
- LCM(4, 5) = 20.
Jos otamme LCM:n seuraaville neljälle numerolle: 3, −9, 5, −15, saamme merkinnän:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Jopa yksinkertaisimmat kirjoitusesimerkit osoittavat, että pienimmän yhteisen kerrannaisen löytäminen lukuryhmälle on kaikkea muuta kuin helppoa, ja sen löytäminen voi olla melko monimutkaista. On olemassa erityisiä algoritmeja ja tekniikoita, joita käytetään aktiivisesti pienimmän yhteisen kerrannaisen laskemisessa.
Kuinka LCM ja GCD liittyvät toisiinsa
Matemaattisissa laskelmissa tunnettu arvo, jota kutsutaan vähiten yhteiseksi jakajaksi (jäljempänä GCD), liitetään LCM:ään seuraavan lauseen avulla: "kahden positiivisen kokonaisluvun a ja b pienin yhteinen kerrannainen (LCM) on yhtä suuri kuin lukujen a ja b tulo jaettuna a:n ja b:n suurimmalla yhteisellä jakajalla (gcd).
Voit kuvata tämän lauseen käyttämällä matemaattista lauseketta seuraavasti:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Tämän lauseen todisteeksi esitämme matemaattista tutkimusta.
Oletetaan, että m on a:n ja b:n tietty kerrannainen. Näin ollen m on jaollinen a:lla, ja jaollisuuden määritelmän mukaan on olemassa kokonaisluku k, jolla voidaan kirjoittaa yhtäläisyys:
- m = a ⋅ k.
Mutta tiedämme myös, että m on myös jaollinen b:llä, joten a ⋅ k on myös jaollinen b:llä.
Käytämme symbolia d ilmaisemaan lauseketta GCD (a, b). Joten voimme kirjoittaa yhtäläisyyden käyttämällä lausekkeita:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Tässä:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
jossa a1 ja b1 ovat suhteellisen alkulukuja.
Yllä saatu ehto, että a ⋅ k on jaollinen b:llä, mahdollistaa seuraavan lausekkeen kirjoittamisen: a1 ⋅ d ⋅ k on jaollinen b1 ⋅ d:llä, ja tämä on jaollisuuden ominaisuuksien mukaisesti ekvivalentti ehto, että a1 ⋅ k on jaollinen b1:llä.
Koska alkulukujen ominaisuuksien mukaan, koska a1 ⋅ k on jaollinen b1:llä ja a1 ei ole jaollinen b1:llä (a1 ja b1 ovat koalkilukuja), niin k:n on oltava jaollinen b1:llä. Tässä tapauksessa meillä on oltava jokin kokonaisluku t, jolle lauseke on tosi:
- k = b1 ⋅ t,
ja siitä lähtien
- b1 = b / d,
sitten:
- k = b / d ⋅ t.
Korvaaminen lausekkeeseen
- m = a ⋅ k
K:n sijaan sen lauseke on b / d ⋅ t, saamme lopullisen yhtälön:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Saimme siis yhtälön, joka määrittää kaikkien a:n ja b:n yhteisten kerrannaisten muodon. Koska a ja b ovat ehdon mukaan positiivisia lukuja, niin arvolle t = 1 saamme niiden pienimmän positiivisen yhteiskerran, joka on yhtä suuri kuin a ⋅ b / d.
Olemme siis todistaneet sen
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
LCM:ään liittyvien perussäännösten ja sääntöjen tunteminen auttaa ymmärtämään paremmin sen käytännön merkitystä matematiikassa, ja voit myös käyttää sitä aktiivisesti soveltavana yksikkönä laskelmissa, joissa LCM-arvon tunteminen on edellytys.
