کمترین مضرب مشترک (LCM) یک شاخص ریاضی است که دانش آموز باید بداند تا بتواند به طور مؤثر با کسرها کار کند. NOC به عنوان بخشی از برنامه درسی دبیرستان مورد مطالعه قرار می گیرد و علیرغم پیچیدگی ظاهری مطالب، این مبحث برای دانش آموزی که جدول ضرب را می داند و می داند چگونه با مدرک کار کند، مشکلی ایجاد نمی کند.
تعریف LCM
قبل از شروع آشنایی با LCM، لازم است مفهوم گسترده تر آن را درک کنیم - ما در مورد تعریف اصطلاح "ضرب مشترک" و نقش آن در محاسبات عملی صحبت می کنیم.
یک مضرب مشترک چند عدد، یک عدد طبیعی است که می توان آن را بدون باقیمانده بر هر یک از این اعداد تقسیم کرد. به عبارت دیگر، مضرب مشترک یک سری از اعداد صحیح، هر عدد صحیحی است که بر هر یک از اعداد موجود در سری داده شده بخش پذیر باشد.
در مورد ما، روی مضرب های مشترک اعداد صحیح تمرکز خواهیم کرد که هیچ کدام برابر با صفر نیست.
در مورد تعداد اعداد طبیعی که در رابطه با آنها می‌توانیم مفهوم "ضرب مشترک" را اعمال کنیم، می‌توان دو، سه، چهار یا بیشتر از آنها را در یک سری قرار داد.
محبوب ترین مضرب مشترک، کمترین مضرب مشترک است - LCM مقدار مثبت کوچکترین مضرب مشترک از همه اعداد سری است.
نمونه‌های NOC
از تعریف کمترین مضرب مشترک و ماهیت ریاضی آن، چنین برمی‌آید که چندین عدد همیشه دارای یک LCM هستند.
کوتاه ترین شکل برای کمترین مضرب مشترک این است:
- a1، a2، ...، ak از شکل LCM (a1، a2، ...، ak).
علاوه بر این، در برخی از منابع می‌توانید شکل زیر را بیابید:
- a1، a2، ...، ak از شکل [a1، a2، ...، ak].
برای نشان دادن یک مثال، بیایید LCM دو عدد صحیح را در نظر بگیریم: 4 و 5. عبارت حاصل به این صورت خواهد بود:
- LCM(4، 5) = 20.
اگر LCM را برای چهار عدد زیر در نظر بگیریم: 3، −9، 5، −15، نماد را دریافت می‌کنیم:
- LCM(3، −9، 5، −15) = 45.
حتی ساده‌ترین مثال‌های نوشتاری نشان می‌دهند که یافتن کمترین مضرب مشترک برای گروهی از اعداد بسیار آسان نیست و فرآیند یافتن آن می‌تواند بسیار پیچیده باشد. الگوریتم‌ها و تکنیک‌های خاصی وجود دارد که به طور فعال هنگام محاسبه کمترین مضرب مشترک استفاده می‌شود.
چگونه LCM و GCD به هم مرتبط هستند
یک مقدار شناخته شده در محاسبات ریاضی، به نام کمترین مقسوم علیه مشترک (از این پس به عنوان GCD نامیده می شود)، از طریق قضیه زیر با LCM مرتبط است: "کمترین مضرب مشترک (LCM) دو عدد صحیح مثبت a و b برابر است با حاصل ضرب اعداد a و b تقسیم بر به بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd) a و b".
می توانید این قضیه را با استفاده از یک عبارت ریاضی به صورت زیر توصیف کنید:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
به عنوان اثبات این قضیه، برخی تحقیقات ریاضی را ارائه می‌کنیم.
فرض کنید m مضرب معینی از a و b است. بر این اساس، m بر a بخش پذیر است و با تعریف بخش پذیری، مقداری k وجود دارد که با آن می توانیم تساوی را بنویسیم:
- m = a ⋅ k.
اما، ما همچنین می دانیم که m بر b نیز بخش پذیر است، بنابراین a ⋅ k نیز بر b بخش پذیر است.
ما از نماد d برای نشان دادن عبارت GCD (a, b) استفاده خواهیم کرد. بنابراین می توانیم برابری را با استفاده از عبارت:
بنویسیم
- a = a1 ⋅ d،
- b = b1 ⋅ d.
اینجا:
- a1 = a / d،
- b1 = b/d،
که در آن a1 و b1 اعداد نسبتاً اول هستند.
شرط به دست آمده در بالا مبنی بر اینکه a ⋅ k بر b بخش پذیر است به ما امکان می دهد عبارت زیر را بنویسیم: a1 ⋅ d ⋅ k بر b1 ⋅ d بخش پذیر است و این، مطابق با ویژگی های بخش پذیری، معادل است شرطی که a1 ⋅ k بر b1 بخش پذیر باشد.
بنابراین، با توجه به خصوصیات اعداد همزمان اول، از آنجایی که a1 ⋅ k بر b1 بخش پذیر است و a1 بر b1 بخش پذیر نیست (a1 و b1 اعداد همزمان اول هستند)، پس k باید بر b1 بخش پذیر باشد. در این مورد، باید مقداری t صحیح داشته باشیم که عبارت درست است:
- k = b1 ⋅ t،
و از آن زمان
- b1 = b/d،
سپس:
- k = b / d ⋅ t.
جایگزینی در عبارت
- m = a ⋅ k
به جای k بیان آن b / d ⋅ t باشد، به برابری نهایی می رسیم:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
بنابراین ما یک تساوی دریافت کردیم که شکل همه مضرب های مشترک a و b را مشخص می کند. از آنجایی که a و b بر اساس شرط اعداد مثبت هستند، پس برای t = 1 ما کمترین مضرب مشترک مثبت آنها را بدست می آوریم که برابر با a ⋅ b / d است.
بنابراین، ما این را ثابت کردیم
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
دانستن مقررات و قوانین اساسی مرتبط با LCM به درک بهتر اهمیت عملی آن در ریاضیات کمک می کند و همچنین به شما این امکان را می دهد که فعالانه از آن به عنوان یک واحد کاربردی در محاسباتی استفاده کنید که در آن آگاهی از مقدار LCM یک پیش نیاز است.
