El mínimo común múltiplo (MCM) es un indicador matemático que un estudiante debe saber para poder trabajar con fracciones de manera efectiva. El NOC se estudia como parte del plan de estudios de la escuela secundaria y, a pesar de la aparente complejidad del material, este tema no causará problemas para un estudiante que conoce las tablas de multiplicar y sabe trabajar con grados.
Definición de MCM
Antes de comenzar a familiarizarse con el MCM, es necesario comprender su concepto más amplio: estamos hablando de la definición del término "múltiplo común" y su papel en los cálculos prácticos.
Un múltiplo común de varios números es un número natural que se puede dividir por cada uno de estos números sin resto. En otras palabras, un múltiplo común de una serie de números enteros es cualquier número entero que sea divisible por cada uno de los números de la serie dada.
En nuestro caso, nos centraremos en múltiplos comunes de números enteros, ninguno de los cuales es igual a cero.
En cuanto a la cantidad de números naturales, en relación a los cuales podemos aplicar el concepto de "múltiplo común", entonces puede haber dos, tres, cuatro o más de ellos en una serie.
El más popular de los múltiplos comunes es el mínimo común múltiplo: el mcm es el valor positivo del mínimo común múltiplo de todos los números de la serie.
Ejemplos de NOC
De la definición del mínimo común múltiplo y su esencia matemática, se deduce que varios números siempre tienen un MCM.
La forma más corta del mínimo común múltiplo es:
- a1, a2, ..., ak de la forma MCM (a1, a2, ..., ak).
Además, en algunas fuentes se puede encontrar la siguiente forma de escritura:
- a1, a2, ..., ak de la forma [a1, a2, ..., ak].
Para demostrar un ejemplo, tomemos el MCM de dos enteros: 4 y 5. La expresión resultante se verá así:
- MCM(4, 5) = 20.
Si tomamos el MCM de los siguientes cuatro números: 3, −9, 5, −15, obtenemos la notación:
- MCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Incluso los ejemplos de escritura más simples muestran que encontrar el mínimo común múltiplo para un grupo de números no es nada fácil y que el proceso de encontrarlo puede ser bastante complicado. Existen algoritmos y técnicas especiales que se utilizan activamente al calcular el mínimo común múltiplo.
Cómo se relacionan MCM y GCD
Un valor conocido en los cálculos matemáticos, denominado mínimo común divisor (en adelante, MCD), se asocia con MCM a través del siguiente teorema: “el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números enteros positivos a y b es igual a el producto de los números a y b dividido por el máximo común divisor (mcd) de a y b".
Puedes describir este teorema usando una expresión matemática como sigue:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / MCD (a, b).
Como prueba de este teorema, presentamos algunas investigaciones matemáticas.
Digamos que m es cierto múltiplo de a y b. En consecuencia, m es divisible por a, y, por la definición de divisibilidad, existe algún número entero k, con el que podemos escribir la igualdad:
- m = a ⋅ k.
Pero también sabemos que m también es divisible por b, por lo que a ⋅ k también es divisible por b.
Usaremos el símbolo d para denotar la expresión GCD (a, b). Entonces podemos escribir la igualdad usando expresiones:
- a = a1 ⋅ re,
- b = b1 ⋅ re.
Aquí:
- a1 = a/d,
- b1 = b/d,
donde a1 y b1 son números primos relativos.
La condición obtenida anteriormente de que a ⋅ k es divisible por b nos permite escribir la siguiente expresión: a1 ⋅ d ⋅ k es divisible por b1 ⋅ d, y esto, de acuerdo con las propiedades de divisibilidad, es equivalente a la condición de que a1 ⋅ k sea divisible por b1 .
Por lo tanto, según las propiedades de los números coprimos, dado que a1 ⋅ k es divisible por b1 y a1 no es divisible por b1 (a1 y b1 son números coprimos), entonces k debe ser divisible por b1. En este caso, debemos tener algún número entero t para el cual la expresión sea verdadera:
- k = b1 ⋅ t,
y desde
- b1 = b/d,
entonces:
- k = segundo / re ⋅ t.
Sustituyendo en la expresión
- m = un ⋅ k
en lugar de k su expresión es b / d ⋅ t, llegamos a la igualdad final:
- m = un ⋅ segundo / re ⋅ t.
Entonces obtuvimos una igualdad que especifica la forma de todos los múltiplos comunes de a y b. Dado que a y b son números positivos por la condición, entonces para t = 1 obtenemos su mínimo común múltiplo positivo, que es igual a a ⋅ b / d.
Por lo tanto, hemos demostrado que
- LCD (a, b) = a ⋅ b / MCD (a, b).
Conocer las disposiciones y reglas básicas asociadas con MCM ayuda a comprender mejor su significado práctico en matemáticas y también le permite usarlo activamente como una unidad aplicada en cálculos en los que el conocimiento del valor de MCM es un requisito previo.
