Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) είναι ένας μαθηματικός δείκτης που πρέπει να γνωρίζει ένας μαθητής για να εργαστεί αποτελεσματικά με τα κλάσματα. Το NOC μελετάται ως μέρος του προγράμματος σπουδών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και, παρά τη φαινομενική πολυπλοκότητα του υλικού, αυτό το θέμα δεν θα προκαλέσει προβλήματα σε έναν μαθητή που γνωρίζει τον πίνακα πολλαπλασιασμού και ξέρει πώς να δουλεύει με πτυχία.
Ορισμός LCM
Πριν αρχίσετε να εξοικειωθείτε με το LCM, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε την ευρύτερη έννοια του - μιλάμε για τον ορισμό του όρου "κοινό πολλαπλάσιο" και τον ρόλο του σε πρακτικούς υπολογισμούς.
Ένα κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ένας φυσικός αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Με άλλα λόγια, ένα κοινό πολλαπλάσιο μιας σειράς ακεραίων είναι κάθε ακέραιος που διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς της δεδομένης σειράς.
Στην περίπτωσή μας, θα επικεντρωθούμε σε κοινά πολλαπλάσια ακεραίων, κανένας από τους οποίους δεν ισούται με μηδέν.
Όσον αφορά τον αριθμό των φυσικών αριθμών, σε σχέση με τους οποίους μπορούμε να εφαρμόσουμε την έννοια του "κοινού πολλαπλάσιου", τότε μπορεί να υπάρχουν δύο, τρεις, τέσσερις ή περισσότεροι από αυτούς σε μια σειρά.
Το πιο δημοφιλές από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο - το LCM είναι η θετική τιμή του μικρότερου κοινού πολλαπλάσιου όλων των αριθμών της σειράς.
Παραδείγματα NOC
Από τον ορισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και τη μαθηματική του ουσία, προκύπτει ότι αρκετοί αριθμοί έχουν πάντα LCM.
Η συντομότερη μορφή για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι:
- a1, a2, ..., ak της μορφής LCM (a1, a2, ..., ak).
Επιπλέον, σε ορισμένες πηγές μπορείτε να βρείτε την ακόλουθη μορφή γραφής:
- a1, a2, ..., ak της μορφής [a1, a2, ..., ak].
Για να δείξουμε ένα παράδειγμα, ας πάρουμε το LCM δύο ακεραίων αριθμών: 4 και 5. Η παράσταση που προκύπτει θα μοιάζει με αυτό:
- LCM(4, 5) = 20.
Αν πάρουμε το LCM για τους ακόλουθους τέσσερις αριθμούς: 3, −9, 5, −15, παίρνουμε τον συμβολισμό:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Ακόμα και τα πιο απλά παραδείγματα γραφής δείχνουν ότι η εύρεση του λιγότερου κοινού πολλαπλάσιου για μια ομάδα αριθμών δεν είναι καθόλου εύκολη και η διαδικασία εύρεσης του μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκη. Υπάρχουν ειδικοί αλγόριθμοι και τεχνικές που χρησιμοποιούνται ενεργά κατά τον υπολογισμό του λιγότερου κοινού πολλαπλάσιου.
Πώς σχετίζονται το LCM και το GCD
Μια τιμή γνωστή στους μαθηματικούς υπολογισμούς, που ονομάζεται ο ελάχιστος κοινός διαιρέτης (εφεξής GCD), συνδέεται με το LCM μέσω του ακόλουθου θεωρήματος: «το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) δύο θετικών ακεραίων a και b είναι ίσο στο γινόμενο των αριθμών a και b διαιρούμενο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (gcd) των a και b".
Μπορείτε να περιγράψετε αυτό το θεώρημα χρησιμοποιώντας μια μαθηματική έκφραση ως εξής:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Ως απόδειξη αυτού του θεωρήματος, παρουσιάζουμε κάποια μαθηματική έρευνα.
Ας υποθέσουμε ότι το m είναι ένα ορισμένο πολλαπλάσιο του a και του b. Συνεπώς, το m διαιρείται με το a και, με τον ορισμό της διαιρετότητας, υπάρχει κάποιος ακέραιος αριθμός k, με τον οποίο μπορούμε να γράψουμε την ισότητα:
- m = a ⋅ k.
Όμως, γνωρίζουμε επίσης ότι το m διαιρείται επίσης με το b, επομένως το a ⋅ k διαιρείται επίσης με το b.
Θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο d για να δηλώσουμε την έκφραση GCD (a, b). Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ισότητα χρησιμοποιώντας εκφράσεις:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Εδώ:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
όπου οι a1 και b1 είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί.
Η συνθήκη που προκύπτει ότι το a ⋅ k διαιρείται με το b μας επιτρέπει να γράψουμε την ακόλουθη παράσταση: a1 ⋅ d ⋅ k διαιρείται με το b1 ⋅ d, και αυτό, σύμφωνα με τις ιδιότητες της διαιρετότητας, είναι ισοδύναμο με το προϋπόθεση ότι το a1 ⋅ k διαιρείται με το b1 .
Επομένως, σύμφωνα με τις ιδιότητες των συμπρώτων αριθμών, εφόσον το a1 ⋅ k διαιρείται με το b1 και το a1 δεν διαιρείται με το b1 (τα a1 και b1 είναι συμπρώτοι αριθμοί), τότε το k πρέπει να διαιρείται με το b1. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να έχουμε κάποιον ακέραιο t για τον οποίο η έκφραση είναι αληθής:
- k = b1 ⋅ t,
και από τότε
- b1 = b / d,
τότε:
- k = b / d ⋅ t.
Αντικατάσταση στην έκφραση
- m = a ⋅ k
αντί για το k η έκφρασή του είναι b / d ⋅ t, φτάνουμε στην τελική ισότητα:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Έχουμε λοιπόν μια ισότητα που καθορίζει τη μορφή όλων των κοινών πολλαπλασίων του a και του b. Εφόσον τα a και b είναι θετικοί αριθμοί βάσει της συνθήκης, τότε για t = 1 παίρνουμε το ελάχιστο θετικό κοινό πολλαπλάσιό τους, το οποίο είναι ίσο με a ⋅ b / d.
Έτσι, το αποδείξαμε
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Η γνώση των βασικών διατάξεων και κανόνων που σχετίζονται με το LCM βοηθά στην καλύτερη κατανόηση της πρακτικής σημασίας του στα μαθηματικά και σας επιτρέπει επίσης να το χρησιμοποιείτε ενεργά ως εφαρμοσμένη μονάδα σε υπολογισμούς στους οποίους η γνώση της τιμής του LCM είναι απαραίτητη προϋπόθεση.
