LCM-beregner

Det mindste fælles multiplum (LCM) er en matematisk indikator, som en elev skal kende for at kunne arbejde effektivt med brøker. NOC studeres som en del af gymnasiets læseplan, og på trods af materialets tilsyneladende kompleksitet vil dette emne ikke give problemer for en elev, der kender multiplikationstabellen og ved, hvordan man arbejder med grader.

LCM-definition

Før man begynder at stifte bekendtskab med LCM, er det nødvendigt at forstå dets bredere koncept - vi taler om definitionen af begrebet "fælles multiplum" og dets rolle i praktiske beregninger.

Et fælles multiplum af flere tal er et naturligt tal, der kan divideres med hvert af disse tal uden en rest. Med andre ord er et fælles multiplum af en række heltal ethvert heltal, der er deleligt med hvert af tallene i den givne række.

I vores tilfælde vil vi fokusere på fælles multipla af heltal, hvoraf ingen er lig med nul.

Med hensyn til antallet af naturlige tal, i forhold til hvilke vi kan anvende begrebet "fælles multiplum", så kan der være to, tre, fire eller flere af dem i en række.

Det mest populære af de fælles multiplum er det mindste fælles multiplum - LCM er den positive værdi af det mindste fælles multiplum af alle tallene i serien.

NOC-eksempler

Af definitionen af det mindste fælles multiplum og dets matematiske essens følger det, at flere tal altid har en LCM.

Den korteste form for det mindste fælles multiplum er:

a1, a2, ..., ak af formen LCM (a1, a2, ..., ak).

Derudover kan du i nogle kilder finde følgende skriveform:

a1, a2, ..., ak af formen [a1, a2, ..., ak].

For at demonstrere et eksempel, lad os tage LCM af to heltal: 4 og 5. Det resulterende udtryk vil se sådan ud:

LCM(4, 5) = 20.

Hvis vi tager LCM for følgende fire tal: 3, −9, 5, −15, får vi notationen:

LCM(3; -9; 5; -15) = 45.

Selv de enkleste skriveeksempler viser, at det langt fra er nemt at finde det mindste fælles multiplum for en gruppe tal, og processen med at finde det kan være ret kompliceret. Der er specielle algoritmer og teknikker, der bruges aktivt ved beregning af det mindste fælles multiplum.

Hvordan LCM og GCD hænger sammen

En værdi kendt i matematiske beregninger, kaldet den mindste fælles divisor (i det følgende benævnt GCD), er forbundet med LCM gennem følgende sætning: "den mindste fælles multiplum (LCM) af to positive heltal a og b er lig til produktet af tallene a og b divideret med den største fælles divisor (gcd) af a og b".

Du kan beskrive denne sætning ved at bruge et matematisk udtryk som følger:

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Som et bevis på denne teorem præsenterer vi noget matematisk forskning.

Lad os sige, at m er et vist multiplum af a og b. Følgelig er m deleligt med a, og ved definitionen af delelighed er der et heltal k, som vi kan skrive ligheden med:

m = a ⋅ k.

Men vi ved også, at m også er deleligt med b, så a ⋅ k er også deleligt med b.

Vi vil bruge symbolet d til at betegne udtrykket GCD (a, b). Så vi kan skrive lighed ved hjælp af udtryk:

a = a1 ⋅ d,
b = b1 ⋅ d.

Her:

a1 = a/d,
b1 = b/d,

hvor a1 og b1 er relativt primtal.

Betingelsen opnået ovenfor, at a ⋅ k er delelig med b, giver os mulighed for at skrive følgende udtryk: a1 ⋅ d ⋅ k er delelig med b1 ⋅ d, og dette, i overensstemmelse med delelighedens egenskaber, svarer til betingelse, at a1 ⋅ k er delelig med b1 .

Derfor, i overensstemmelse med egenskaberne for coprimtal, da a1 ⋅ k er deleligt med b1, og a1 ikke er deleligt med b1 (a1 og b1 er coprimtal), så skal k være deleligt med b1. I dette tilfælde skal vi have et heltal t, som udtrykket er sandt for:

k = b1 ⋅ t,

og siden

b1 = b/d,

derefter:

k = b / d ⋅ t.

Erstatning i udtrykket

m = a ⋅ k

i stedet for k er dets udtryk b / d ⋅ t, når vi frem til den endelige lighed:

m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Så vi fik en lighed, der specificerer formen af alle fælles multipla af a og b. Da a og b er positive tal ved betingelsen, får vi for t = 1 deres mindst positive fælles multiplum, som er lig med a ⋅ b / d.

Således har vi bevist det

LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Kendskab til de grundlæggende bestemmelser og regler forbundet med LCM hjælper med at forstå dens praktiske betydning i matematik bedre og giver dig også mulighed for aktivt at bruge den som en anvendt enhed i beregninger, hvor kendskab til LCM-værdien er en forudsætning.

Sådan finder du mindste fælles multiplum

Et af de første spørgsmål, der opstår, når man studerer det mindste fælles multiplum (LCM): hvad er dets praktiske betydning, og hvordan kan det være nyttigt i matematiske beregninger?

Selvfølgelig er der i en videnskab som matematik ingen ubrugelige funktioner, hver af dem er nødvendige for at udføre specifikke beregninger. NOC er ingen undtagelse.

Hvor LCM gælder

Oftest bruges LCM i beregninger, der kræver, at brøker reduceres til en fællesnævner. Denne handling findes i eksempler og opgaver i de fleste skoleprogrammer. Der er som udgangspunkt tale om undervisningsmateriale inden for gymnasiets rammer.

Derudover kan LCM fungere som en fælles divisor for alle multipla, hvis disse forhold er til stede i det problem, der skal løses.

I praksis er der problemer, hvor der er behov for at finde et multiplum ikke kun af to tal, men også af et meget større antal af dem - tre, fem ... Jo større antal tal i initialen forhold, jo flere handlinger skal vi udføre i processen med at løse problemet. Den gode nyhed er, at kompleksiteten af løsningen ikke vil stige i dette tilfælde. Kun skalaen af beregninger vil ændre sig.

Metoder til at finde LCM

Første vej

Lad os som et eksempel beregne det mindste fælles multiplum af tallene 250, 600 og 1500.

Lad os starte med at faktorisere tallene:

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2¹ ⋅ 5³.

I dette eksempel har vi faktoriseret uden reduktion.

Dernæst udfører vi lignende handlinger med resten af tallene:

600 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5².
1500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5³.

For at sammensætte et udtryk er det nødvendigt at udpege alle faktorerne, i vores tilfælde er det 2, 3, 5 - for disse tal skal du bestemme den maksimale grad.

LCM = 3000.

Det skal bemærkes, at alle multiplikatorer skal bringes til deres fulde forenkling. Hvis det er muligt, nedbrydes til niveauet for utvetydigt.

Dernæst kontrollerer vi:

3000 / 250 = 12 er korrekt;
3000 / 600 = 5 er korrekt;
3000 / 1500 = 2 er korrekt.

Fordelen ved denne metode til beregning af LCM er dens enkelhed - sådan en beregning kræver ikke særlige færdigheder og høj viden i matematik.

Anden vej

Mange matematiske beregninger kan forenkles ved at udnytte muligheden for at udføre dem i flere trin. Det samme gælder for at beregne det mindste fælles multiplum.

Den metode, vi vil se på nedenfor, fungerer for både enkeltcifrede og tocifrede eksempler.

For en enklere og mere visuel repræsentation af processen skal vi oprette en tabel, hvor følgende værdier vil blive indtastet:

til kolonner - multiplikand;
til linjer — multiplikator.

Cellerne ved skæringspunktet vil indeholde værdierne af produkterne fra multiplikatoren og multiplikatoren. For dem, der ikke kan lide at arbejde med tabeller, er der en enklere form for skrivning - i en linje, hvor resultaterne af vores tal er skrevet til heltal fra en til uendelig. I nogle tilfælde er det nok at skrive 3-5 point ned. De resterende tal er genstand for en lignende beregningsproces. Denne handling udføres, indtil der findes et fælles multiplum, det mindste for alle værdier.

Find det fælles multiplum af tallene 30, 35 og 42:

Find multipla af 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ...
Find multipla af 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ...
Find multipla af 42: 84, 126, 168, 210, 252, ...

Vi har tre rækker med tal, der adskiller sig fra hinanden, dog er der i hver række det samme tal - 210. Det er dette tal, der er det mindste fælles multiplum for de givne tal.

Vi så på de enkleste måder at beregne det mindste fælles multiplum af en række tal. Der er andre specielle algoritmer, de kan have nogle forskelle i beregningsprocessen, mens resultatet af beregningen vil være det samme. Derudover kan du nu finde en lang række online-beregnere på nettet, der giver dig mulighed for at finde det mindste fælles multiplum (LCM) uden en besværlig selvberegning.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}