Nejmenší společný násobek (LCM) je matematický ukazatel, který student potřebuje znát, aby mohl efektivně pracovat se zlomky. NOC se studuje jako součást středoškolského kurikula a i přes zjevnou složitost látky nebude toto téma činit problémy studentovi, který zná násobilku a ví, jak pracovat s tituly.
Definice LCM
Než se s LCM začneme seznamovat, je nutné porozumět jeho širšímu pojetí – hovoříme o definici pojmu „společný násobek“ a jeho roli v praktických výpočtech.
Společný násobek několika čísel je přirozené číslo, které lze dělit každým z těchto čísel beze zbytku. Jinými slovy, společný násobek řady celých čísel je jakékoli celé číslo, které je dělitelné každým z čísel v dané řadě.
V našem případě se zaměříme na společné násobky celých čísel, z nichž žádné se nerovná nule.
Pokud jde o počet přirozených čísel, ve vztahu k nimž můžeme použít koncept "společného násobku", pak jich v řadě mohou být dvě, tři, čtyři nebo více.
Nejpopulárnější ze společných násobků je nejmenší společný násobek – LCM je kladná hodnota nejmenšího společného násobku všech čísel v řadě.
Příklady NOC
Z definice nejmenšího společného násobku a jeho matematické podstaty vyplývá, že několik čísel má vždy LCM.
Nejkratší forma nejmenšího společného násobku je:
- a1, a2, ..., ak ve tvaru LCM (a1, a2, ..., ak).
V některých zdrojích navíc můžete najít následující formu psaní:
- a1, a2, ..., ak ve tvaru [a1, a2, ..., ak].
Pro demonstraci příkladu si vezměme LCM dvou celých čísel: 4 a 5. Výsledný výraz bude vypadat takto:
- LCM(4, 5) = 20.
Pokud vezmeme LCM pro následující čtyři čísla: 3, −9, 5, −15, dostaneme zápis:
- LCM(3; −9; 5; −15) = 45.
I ty nejjednodušší příklady psaní ukazují, že nalezení nejmenšího společného násobku pro skupinu čísel není zdaleka snadné a proces hledání může být poměrně komplikovaný. Existují speciální algoritmy a techniky, které se aktivně používají při výpočtu nejmenšího společného násobku.
Jak spolu souvisí LCM a GCD
Hodnota známá v matematických výpočtech, nazývaná nejmenší společný dělitel (dále jen GCD), je spojena s LCM prostřednictvím následující věty: „nejmenší společný násobek (LCM) dvou kladných celých čísel aab se rovná součin čísel aab dělený největším společným dělitelem (gcd) aab."
Tuto větu můžete popsat pomocí matematického výrazu následovně:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Jako důkaz této věty uvádíme matematický výzkum.
Řekněme, že m je určitý násobek a a b. Podle toho je m dělitelné a, a podle definice dělitelnosti existuje nějaké celé číslo k, se kterým můžeme napsat rovnost:
- m = a ⋅ k.
Ale také víme, že m je také dělitelné b, takže a ⋅ k je také dělitelné b.
Pro označení výrazu GCD (a, b) použijeme symbol d. Můžeme tedy napsat rovnost pomocí výrazů:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Zde:
- a1 = a / d,
- b1 = b / d,
kde a1 a b1 jsou relativně prvočísla.
Výše získaná podmínka, že a ⋅ k je dělitelné b, nám umožňuje napsat následující výraz: a1 ⋅ d ⋅ k je dělitelné b1 ⋅ d, což je v souladu s vlastnostmi dělitelnosti ekvivalentní podmínkou, že a1 ⋅ k je dělitelné b1 .
Proto podle vlastností prvočísel, protože a1 ⋅ k je dělitelné b1 a a1 není dělitelné b1 (a1 a b1 jsou prvočísla), pak k musí být dělitelné b1. V tomto případě musíme mít nějaké celé číslo t, pro které je výraz pravdivý:
- k = b1 ⋅ t,
a od
- b1 = b / d,
pak:
- k = b / d ⋅ t.
Nahrazování do výrazu
- m = a ⋅ k
místo k je jeho výraz b / d ⋅ t, dostáváme se ke konečné rovnosti:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Takže máme rovnost, která určuje tvar všech společných násobků a a b. Protože a a b jsou kladná čísla podle podmínky, pak pro t = 1 dostaneme jejich nejmenší kladný společný násobek, který se rovná a ⋅ b / d.
Takže jsme to dokázali
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Znalost základních ustanovení a pravidel spojených s LCM pomáhá lépe porozumět jeho praktickému významu v matematice a také vám umožňuje jej aktivně používat jako aplikovanou jednotku ve výpočtech, ve kterých je znalost hodnoty LCM předpokladem.
