Mínim comú múltiple

El mínim comú múltiple (LCM) és un indicador matemàtic que un estudiant ha de conèixer per treballar amb eficàcia amb fraccions. El NOC s'estudia dins del currículum de secundària i, malgrat l'aparent complexitat del material, aquest tema no suposarà problemes per a un alumne que conegui la taula de multiplicar i sàpiga treballar les titulacions.

Definició de LCM

Abans de començar a familiaritzar-se amb el LCM, cal entendre el seu concepte més ampli: estem parlant de la definició del terme "múltiple comú" i el seu paper en els càlculs pràctics.

Un múltiple comú de diversos nombres és un nombre natural que es pot dividir per cadascun d'aquests nombres sense resta. En altres paraules, un múltiple comú d'una sèrie de nombres enters és qualsevol nombre enter que sigui divisible per cadascun dels nombres de la sèrie donada.

En el nostre cas, ens centrarem en els múltiples comuns de nombres enters, cap dels quals és igual a zero.

Pel que fa al nombre de nombres naturals, en relació als quals podem aplicar el concepte de "múltiple comú", llavors n'hi pot haver dos, tres, quatre o més en una sèrie.

El més popular dels múltiples comuns és el mínim comú múltiple: el MCM és el valor positiu del mínim comú múltiple de tots els nombres de la sèrie.

Exemples de NOC

De la definició del mínim comú múltiple i de la seva essència matemàtica, es dedueix que diversos nombres sempre tenen un MCM.

La forma més curta del mínim comú múltiple és:

• a1, a2, ..., ak de la forma LCM (a1, a2, ..., ak).

A més, en algunes fonts podeu trobar la següent forma d'escriptura:

• a1, a2, ..., ak de la forma [a1, a2, ..., ak].

Per demostrar un exemple, prenem el MCM de dos nombres enters: 4 i 5. L'expressió resultant tindrà aquest aspecte:

• LCM(4, 5) = 20.

Si prenem el MCM dels quatre nombres següents: 3, −9, 5, −15, obtenim la notació:

• LCM(3, −9, 5, −15) = 45.

Fins i tot els exemples d'escriptura més senzills mostren que trobar el mínim comú múltiple per a un grup de nombres no és fàcil i el procés de trobar-lo pot ser bastant complicat. Hi ha algorismes i tècniques especials que s'utilitzen activament quan es calcula el mínim comú múltiple.

Com es relacionen LCM i GCD

Un valor conegut en càlculs matemàtics, anomenat mínim comú divisor (d'ara endavant, MCD), s'associa amb MCM mitjançant el següent teorema: "el mínim comú múltiple (LCM) de dos nombres enters positius a i b és igual a el producte dels nombres a i b dividit per al màxim comú divisor (mcd) d'a i b".

Podeu descriure aquest teorema utilitzant una expressió matemàtica de la següent manera:

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Com a prova d'aquest teorema, presentem algunes investigacions matemàtiques.

Diguem que m és un múltiple determinat de a i b. En conseqüència, m és divisible per a i, segons la definició de divisibilitat, hi ha algun nombre enter k, amb el qual podem escriure la igualtat:

• m = a ⋅ k.

Però, també sabem que m també és divisible per b, de manera que a ⋅ k també és divisible per b.

Utilitzarem el símbol d per indicar l'expressió GCD (a, b). Així que podem escriure la igualtat utilitzant expressions:

• a = a1 ⋅ d,
• b = b1 ⋅ d.

Aquí:

• a1 = a/d,
• b1 = b/d,

on a1 i b1 són nombres primers relativament.

La condició obtinguda anteriorment que a ⋅ k és divisible per b ens permet escriure la següent expressió: a1 ⋅ d ⋅ k és divisible per b1 ⋅ d, i això, d'acord amb les propietats de la divisibilitat, és equivalent a la condició que a1 ⋅ k sigui divisible per b1 .

Per tant, segons les propietats dels nombres copprims, com que a1 ⋅ k és divisible per b1, i a1 no és divisible per b1 (a1 i b1 són nombres copprims), aleshores k ha de ser divisible per b1. En aquest cas, hem de tenir algun enter t per al qual l'expressió sigui certa:

• k = b1 ⋅ t,

i des de

• b1 = b/d,

aleshores:

• k = b / d ⋅ t.

Substituint a l'expressió

• m = a ⋅ k

en lloc de k, la seva expressió és b / d ⋅ t, arribem a la igualtat final:

• m = a ⋅ b / d ⋅ t.

Així tenim una igualtat que especifica la forma de tots els múltiples comuns d'a i b. Com que a i b són nombres positius per la condició, aleshores per a t = 1 obtenim el seu mínim comú múltiple positiu, que és igual a a ⋅ b / d.

Per tant, ho hem demostrat

• LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).

Conèixer les disposicions i regles bàsiques associades a LCM ajuda a entendre millor la seva importància pràctica en matemàtiques i també us permet utilitzar-la activament com a unitat aplicada en càlculs en què el coneixement del valor de LCM és un requisit previ.