Най-малкото общо кратно (LCM) е математически показател, който ученикът трябва да знае, за да работи ефективно с дроби. NOC се изучава като част от учебната програма на средното училище и въпреки очевидната сложност на материала, тази тема няма да създаде проблеми за ученик, който знае таблицата за умножение и знае как да работи с градуси.
Дефиниция на LCM
Преди да започнете да се запознавате с LCM, е необходимо да разберете по-широката му концепция - говорим за определението на термина "общо кратно" и неговата роля в практическите изчисления.
Общо кратно на няколко числа е естествено число, което може да бъде разделено на всяко от тези числа без остатък. С други думи, общо кратно на поредица от цели числа е всяко цяло число, което се дели на всяко от числата в дадената поредица.
В нашия случай ще се съсредоточим върху общи кратни на цели числа, нито едно от които не е равно на нула.
Що се отнася до броя на естествените числа, по отношение на които можем да приложим понятието "общо кратно", тогава в една серия може да има две, три, четири или повече от тях.
Най-популярното от общите кратни е най-малкото общо кратно – LCM е положителната стойност на най-малкото общо кратно на всички числа в серията.
Примери за НОК
От дефиницията на най-малкото общо кратно и неговата математическа същност следва, че няколко числа винаги имат LCM.
Най-кратката форма за най-малкото общо кратно е:
- a1, a2, ..., ak от формата LCM (a1, a2, ..., ak).
Освен това в някои източници можете да намерите следната форма на писане:
- a1, a2, ..., ak във формата [a1, a2, ..., ak].
За да демонстрираме пример, нека вземем LCM на две цели числа: 4 и 5. Полученият израз ще изглежда така:
- LCM(4, 5) = 20.
Ако вземем LCM за следните четири числа: 3, −9, 5, −15, получаваме нотацията:
- LCM(3, −9, 5, −15) = 45.
Дори най-простите примери за писане показват, че намирането на най-малкото общо кратно за група числа далеч не е лесно и процесът на намирането му може да бъде доста сложен. Има специални алгоритми и техники, които се използват активно при изчисляване на най-малкото общо кратно.
Как са свързани LCM и GCD
Стойност, известна в математическите изчисления, наречена най-малък общ делител (наричан по-нататък GCD), е свързана с LCM чрез следната теорема: „най-малкото общо кратно (LCM) на две положителни цели числа a и b е равно на произведението на числата a и b, разделено на най-големия общ делител (gcd) на a и b".
Можете да опишете тази теорема с помощта на математически израз, както следва:
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Като доказателство на тази теорема, представяме някои математически изследвания.
Да кажем, че m е определено кратно на a и b. Съответно m се дели на a и по дефиницията за делимост има някакво цяло число k, с което можем да запишем равенството:
- m = a ⋅ k.
Но също така знаем, че m също се дели на b, така че a ⋅ k също се дели на b.
Ще използваме символа d, за да обозначим израза НОД (a, b). Така че можем да напишем равенство с помощта на изрази:
- a = a1 ⋅ d,
- b = b1 ⋅ d.
Тук:
- a1 = a / d,
- b1 = b/d,
където a1 и b1 са относително прости числа.
Полученото по-горе условие, че a ⋅ k се дели на b, ни позволява да напишем следния израз: a1 ⋅ d ⋅ k се дели на b1 ⋅ d и това, в съответствие със свойствата на делимостта, е еквивалентно на условие, че a1 ⋅ k се дели на b1 .
Следователно, според свойствата на взаимно простите числа, тъй като a1 ⋅ k се дели на b1, а a1 не се дели на b1 (a1 и b1 са взаимно прости числа), тогава k трябва да се дели на b1. В този случай трябва да имаме някакво цяло число t, за което изразът е верен:
- k = b1 ⋅ t,
и от
- b1 = b/d,
след това:
- k = b / d ⋅ t.
Заместване в израза
- m = a ⋅ k
вместо k неговият израз е b / d ⋅ t, стигаме до крайното равенство:
- m = a ⋅ b / d ⋅ t.
Така че имаме равенство, което определя формата на всички общи кратни на a и b. Тъй като a и b са положителни числа по условието, тогава за t = 1 получаваме тяхното най-малко положително общо кратно, което е равно на a ⋅ b / d.
Така го доказахме
- LCD (a, b) = a ⋅ b / GCD (a, b).
Познаването на основните положения и правила, свързани с LCM, помага да се разбере по-добре практическото му значение в математиката и също така ви позволява активно да го използвате като приложна единица в изчисления, при които познаването на стойността на LCM е предпоставка.
