حاسبة المضاعف المشترك الأصغر

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) هو مؤشر رياضي يحتاج الطالب إلى معرفته للعمل بفعالية مع الكسور. تتم دراسة شهادة عدم الممانعة كجزء من منهج المدرسة الثانوية ، وعلى الرغم من التعقيد الواضح للمادة ، فإن هذا الموضوع لن يسبب مشاكل للطالب الذي يعرف جدول الضرب ويعرف كيفية التعامل مع الدرجات.

تعريف LCM

قبل البدء في التعرف على LCM ، من الضروري فهم مفهومه الأوسع - نحن نتحدث عن تعريف مصطلح "المضاعف المشترك" ودوره في الحسابات العملية.

المضاعف المشترك للعديد من الأرقام هو رقم طبيعي يمكن قسمة كل رقم من هذه الأرقام بدون باقي. بعبارة أخرى ، المضاعف المشترك لسلسلة من الأعداد الصحيحة هو أي عدد صحيح يقبل القسمة على كل رقم من الأرقام في سلسلة معينة.

في حالتنا ، سنركز على المضاعفات المشتركة للأعداد الصحيحة ، التي لا يساوي أي منها صفرًا.

بالنسبة إلى عدد الأعداد الطبيعية ، التي يمكننا من خلالها تطبيق مفهوم "المضاعف المشترك" ، فيمكن أن يكون هناك اثنان أو ثلاثة أو أربعة أو أكثر في سلسلة.

المضاعف الأكثر شيوعًا هو المضاعف المشترك الأصغر - المضاعف المشترك الأصغر هو القيمة الموجبة لأصغر مضاعف مشترك لجميع الأرقام في السلسلة.

أمثلة على شهادة عدم الممانعة

من تعريف المضاعف المشترك الأصغر وجوهره الرياضي ، يترتب على ذلك أن العديد من الأرقام لها دائمًا المضاعف المشترك الأصغر.

أقصر شكل للمضاعف المشترك الأصغر هو:

• a1، a2، ...، ak بالصيغة LCM (a1، a2، ...، ak).

بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك أن تجد في بعض المصادر الشكل التالي للكتابة:

• a1، a2، ...، ak بالشكل [a1، a2، ...، ak].

لتوضيح مثال ، دعنا نأخذ المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين: 4 و 5. سيبدو التعبير الناتج على النحو التالي:

• LCM (4، 5) = 20.

إذا أخذنا LCM للأرقام الأربعة التالية: 3 ، −9 ، 5 ، 15 ، نحصل على الترميز:

• LCM (3، −9، 5، −15) = 45.

حتى أبسط أمثلة الكتابة توضح أن العثور على المضاعف الأقل شيوعًا لمجموعة من الأرقام ليس بالأمر السهل ، وقد تكون عملية العثور عليه معقدة للغاية. هناك خوارزميات وتقنيات خاصة يتم استخدامها بشكل نشط عند حساب المضاعف المشترك الأقل.

كيفية ارتباط LCM و GCD

ترتبط قيمة معروفة في الحسابات الرياضية ، تسمى القاسم المشترك الأصغر (المشار إليه فيما يلي باسم GCD) ، بـ LCM من خلال النظرية التالية: "المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين صحيحين موجبين a و b يساوي حاصل ضرب العددين a و b مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر (gcd) لـ a و b ".

يمكنك وصف هذه النظرية باستخدام تعبير رياضي على النحو التالي:

• LCD (a، b) = a ⋅ b / GCD (a، b).

كدليل على هذه النظرية ، نقدم بعض الأبحاث الرياضية.

لنفترض أن m مضاعف معين لـ a و b. وبناءً على ذلك ، فإن m قابلة للقسمة على a ، وبحسب تعريف القسمة ، يوجد عدد صحيح k ، يمكننا من خلاله كتابة المساواة:

• م = أ ⋅ ك.

لكننا نعلم أيضًا أن m يقبل القسمة أيضًا على b ، لذا فإن a ⋅ k يقبل القسمة أيضًا على b.

سنستخدم الرمز d للإشارة إلى التعبير GCD (أ ، ب). حتى نتمكن من كتابة المساواة باستخدام التعبيرات:

• أ = a1 ⋅ د ،
• ب = ب 1 د.

هنا:

• a1 = a / d،
• b1 = b / d،

حيث a1 و b1 عددان أوليان نسبيًا

الشرط الذي تم الحصول عليه أعلاه وهو أن a ⋅ k قابل للقسمة على b يسمح لنا بكتابة التعبير التالي: a1 ⋅ d ⋅ k قابل للقسمة على b1 d ، وهذا وفقًا لخصائص القابلية للقسمة يعادل بشرط أن a1 ⋅ k يقبل القسمة على b1.

لذلك ، وفقًا لخصائص أرقام coprime ، نظرًا لأن a1 ⋅ k يقبل القسمة على b1 ، و a1 لا يقبل القسمة على b1 (a1 و b1 هما رقمان قانونيان) ، فإن k يجب أن يقبل القسمة على b1. في هذه الحالة ، يجب أن يكون لدينا عدد صحيح t يكون التعبير صحيحًا فيه:

• k = b1 ⋅ t،

ومنذ ذلك الحين

• b1 = b / d،

ثم:

• k = b / d ⋅ t.

استبدال التعبير

• م = أ ⋅ ك

بدلاً من k ، يكون تعبيرها b / d ⋅ t ، نصل إلى المساواة النهائية:

• م = أ ⋅ ب / د ⋅ ر.

لذلك حصلنا على المساواة التي تحدد شكل جميع المضاعفات المشتركة لكل من a و b. نظرًا لأن a و b رقمان موجبان بالشرط ، إذن بالنسبة إلى t = 1 نحصل على أقل مضاعف مشترك موجب ، والذي يساوي a ⋅ b / d.

وهكذا ، فقد أثبتنا ذلك

• LCD (a، b) = a ⋅ b / GCD (a، b).

تساعد معرفة الأحكام والقواعد الأساسية المرتبطة بـ LCM على فهم أهميتها العملية في الرياضيات بشكل أفضل ، كما تتيح لك استخدامها بفعالية كوحدة تطبيقية في العمليات الحسابية التي تكون فيها معرفة قيمة LCM شرطًا أساسيًا.